[논문 리뷰] Reinterpretation and Extension of Entropy Correction Terms for Residual Distribution and Discontinuous Galerkin Schemes.

Rémi Abgrall, Philipp Öffner외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 08. 13.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 49인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 SBP-SAT 프레임워크 내에서 최적화 문제의 해로써 잔여 분포 및 비연속 갈레르킨 방법에 대한 엔트로피 보정 항을 일반화한다. 엔트로피 부등식, 다중 제약 조건, 운동에너지 보존에 대해 명시적인 해를 제공하며, 기각 보정 방법을 적용하여 완전히 이산화된 엔트로피-보존/산산화된 스킴을 달성함으로써, 초순수 보존 법칙에 대한 체계적인 구조 보존 이산화 방법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

For the general class of residual distribution (RD) schemes, including many finite element (such as continuous/discontinuous Galerkin) and flux reconstruction methods, an approach to construct entropy conservative/ dissipative semidiscretizations by adding suitable correction terms has been proposed by Abgrall (J.~Comp.~Phys. 372: pp. 640--666, 2018). In this work, the correction terms are characterized as solutions of certain optimization problems and are adapted to the SBP-SAT framework, focusing on discontinuous Galerkin methods. Novel generalizations to entropy inequalities, multiple constraints, and kinetic energy preservation for the Euler equations are developed and tested in numerical experiments. For all of these optimization problems, explicit solutions are provided. Additionally, the correction approach is applied for the first time to obtain a fully discrete entropy conservative/dissipative RD scheme. Here, the application of the deferred correction (DeC) method for the time integration is essential. This paper can be seen as describing a systematic method to construct structure preserving discretization, at least for the considered example.

연구 동기 및 목표

• 기존 프레임워크를 초월하여 잔여 분포 스킴에 대한 엔트로피 보정 항을 일반화하는 것, 특히 비연속 갈레르킨 방법에 대해.
• 고차수 스킴에서 엔트로피-보존/산산화된 반연속화의 체계적인 구축 방법의 부족을 해결하는 것.
• 에일러 방정식에서 운동에너지 보존을 포함한 다중 제약 조건으로 보정 기법을 확장하는 것.
• 기각 보정(DeC) 방법을 통한 시간 적분을 활용하여 완전히 이산화된 엔트로피-보존/산산화된 스킴을 개발하는 것.
• 초순수 보존 법칙에서 구조 보존 이산화를 구축하기 위한 체계적이고 최적화 기반의 프레임워크 제공

제안 방법

• 엔트로피 안정성을 보장하기 위해 엔트로피 보정 항을 제약 조건이 있는 최적화 문제의 해로 설정한다.
• 비연속 갈레르킨 스킴에서 안정성과 보존 성질을 확보하기 위해 보정 접근법을 SBP-SAT 프레임워크에 적응시킨다.
• 엔트로피 부등식 제약 조건과 다중 제약 조건 하에서 보정 항에 대한 명시적인 해석적 해를 유도한다.
• 최적화 프레임워크에 추가 제약 조건을 도입하여 에일러 방정식에서 운동에너지 보존을 위한 새로운 확장을 제안한다.
• 완전히 이산화된 엔트로피-보존/산산화된 스킴을 달성하기 위해 시간 적분에 기각 보정(DeC) 방법을 적용한다.
• 기준 문제에 대한 수치 실험을 통해 접근법을 검증하여 엔트로피 및 운동에너지 보존이 성립함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 최적화 기반 공식화를 통해 잔여 분포 스킴에 대한 엔트로피 보정 항을 어떻게 체계적으로 유도할 수 있는가?
• RQ2 보정 접근법을 다중 제약 조건, 예를 들어 엔트로피 및 운동에너지 보존을 동시에 강제할 수 있는가?
• RQ3 SBP-SAT 프레임워크는 비연속 갈레르킨 스킴에 대해 안정적이고 보존적인 엔트로피 보정 항을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 기각 보정(DeC) 방법을 어떻게 활용하여 완전히 이산화된 엔트로피-보존/산산화된 스킴을 달성할 수 있는가?
• RQ5 초순수 시스템에서 다양한 엔트로피 및 물리적 제약 조건 하에서 보정 항에 대한 명시적 해는 무엇이 있는가?

주요 결과

• 논문은 엔트로피 부등식 제약 조건 하에서 엔트로피 보정 항에 대한 명시적인 해석적 해를 제공하여 직접 구현이 가능하다.
• 최적화 프레임워크에 추가 제약 조건을 통합함으로써 보정 접근법이 에일러 방정식에서 운동에너지 보존을 성공적으로 유지한다.
• 엔트로피 및 운동에너지 등 다중 제약 조건이 제안된 최적화 기반 보정 공식을 통해 동시에 강제될 수 있다.
• 기각 보정(DeC) 방법을 통해 처음으로 완전히 이산화된 엔트로피-보존/산산화된 잔여 분포 스킴을 구축할 수 있다.
• 수치 실험을 통해 제안된 스킴이 테스트 케이스 전반에서 엔트로피 안정성과 운동에너지 보존을 유지하는 것으로 확인되었다.
• 이 프레임워크는 초순수 보존 법칙에서 구조 보존 이산화를 체계적이고 일반화 가능한 방법으로 제공한다.