[論文レビュー] Relations between Infinitesimal Non-Commutative Cumulants

Adrián Celestino, Kurusch Ebrahimi‐Fard+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2019

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、従来、古典的非可換確率論で知られていた、自由、ブール、単調な積率の基本的関係が、無限小枠組みへ自然に拡張されることを確立している。非可換かつ非ココクリアティブな組合せ的ホップ代数の枠組みにおいて、グラスマン数とシャッフル代数の手法を用い、無限小モーメント-積率の公式を導出し、ブールのBercovici–Pata二重写像が、形式的微分と代数におけるリー理論的構造を介して、積率関係を保存する自然な無限小類似物を持つことが示された。

ABSTRACT

Boolean, free and monotone cumulants as well as relations among them, have proven to be important in the study of non-commutative probability theory. Quite notably, Boolean cumulants were successfully used to study free infinite divisibility via the Boolean Bercovici--Pata bijection. On the other hand, in recent years the concept of infinitesimal non-commutative probability has been developed, together with the notion of infinitesimal cumulants which can be useful in the context of combinatorial questions. In this paper, we show that the known relations among free, Boolean and monotone cumulants still hold in the infinitesimal framework. Our approach is based on the use of Grassmann algebra. Formulas involving infinitesimal cumulants can be obtained by applying a formal derivation to known formulas. The relations between the various types of cumulants turn out to be captured via the shuffle algebra approach to moment-cumulant relations in non-commutative probability theory. In this formulation, (free, Boolean and monotone) cumulants are represented as elements of the Lie algebra of infinitesimal characters over a particular combinatorial Hopf algebra. The latter consists of the graded connected double tensor algebra defined over a non-commutative probability space and is neither commutative nor cocommutative. In this note it is shown how the shuffle algebra approach naturally extends to the notion of infinitesimal non-commutative probability space. The basic step consists in replacing the base field as target space of linear Hopf algebra maps by the Grassmann algebra over the base field. We also consider the infinitesimal analog of the Boolean Bercovici--Pata map.

研究の動機と目的

• 非可換確率論の無限小設定において、既知の自由、ブール、単調積率の関係を拡張すること。
• 非可換確率空間における無限小モーメント-積率関係を扱うシャッフル代数フレームワークを構築すること。
• グラスマン値をとる文字を用いて、ブールのBercovici–Pata二重写像を無限小文脈に一般化すること。
• 無限小独立性（自由、ブール、単調）を、無限小枠組みにおける混合積率の消滅によって特徴付けること。

提案手法

• ホップ代数の写像のターゲットとして、無限小変形をモデル化するため、基底体をグラスマン数の代数に置き換える。
• 非可換確率空間上の階数付き連結二重テンソル代数上での、無限小文字のリー代数の要素として無限小積率を定式化する。
• 既知のモーメント-積率公式に形式的微分を適用し、無限小類似物を導出する。
• ホップ代数の双対におけるシャッフル代数構造（双代数）を用い、自由、ブール、単調積率関係を半シャッフル積 ≺ と ≻ で符号化する。
• 指数写像を用いてモーメント-積率関係を表現する：Φ = exp⋆(ρ) = E≺(κ) = E≻(β) であり、ρ, κ, β は無限小文字である。
• 無限小文字の前リ代数におけるシャッフル随伴作用を用いて、無限小積率-積率関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的自由、ブール、単調積率の間の関係は、無限小非可換確率論の文脈でも保持されるか？
• RQ2 グラスマン数を用いて、シャッフル代数の手法を無限小積率にまで拡張できるか？
• RQ3 ブールのBercovici–Pata二重写像の無限小類似物は何か？そして、積率関係とどのように関係するか？
• RQ4 無限小自由、ブール、単調独立性の対応は、混合積率の消滅とどのように関係するか？
• RQ5 Muruaのω関数は、無限小文脈において、特にブール積率展開において果たす役割は何か？

主な発見

• 自由、ブール、単調積率の間の関係は、無限小枠組みでも保持され、古典的ケースと同一の組合せ的構造を持つ。
• 無限小モーメント-積率の公式は、古典的公式に形式的微分を適用することで得られ、積率はグラスマン代数に値をとる。
• 無限小ブール積率生成関数は、古典的ケースと同一の形のモーメント-積率関係を満たし、区間分割の和としての同じ和の形を持つ。
• 無限小ブールBercovici–Pata写像は、古典的二重写像の変形として構成され、指数写像 E≺ と E≻ を介して積率関係を保存する。
• 無限小単調積率の公式は、シャッフル代数の手法を用いて導出され、積率は単調非交叉分割によって添字付けられる。
• 混合積率の消滅が、無限小ブール独立性を特徴づけ、ϕ と ϕ′ に対して明示的な条件 ϕ′(a1⋯an) = ∑ₘ ϕ′(am)∏ₖ≠ₘ ϕ(ak) が与えられ、古典的ケースの一般化となる。