[論文レビュー] Relative categories: Another model for the homotopy theory of homotopy theories

Clark Barwick, D Kan|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 6被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、相対圏の圏におけるクイレン同等のモデル構造を確立し、単体的空間上のチャールズ・レーツの完全セガール空間モデル構造を引き上げる。2重の分割関手を用いた単体的空間と相対圏の間の随伴を構成することで、著者たちは相対圏が$(\infty,1)$-圏のホモトピー理論の有効な代替モデルを提供することを証明する。弱同値はDK同値として与えられる。

ABSTRACT

We lift Charles Rezk's complete Segal space model structure on the category of simplicial spaces to a Quillen equivalent one on the category of relative categories.

研究の動機と目的

• 小規模な相対圏の圏$\mathbf{RelCat}$におけるクイレン同等のモデル構造を構築し、$(\infty,1)$-圏のホモトピー理論を捉えること。
• このモデル構造における弱同値が、ホモトピー圏と単体的局所化を保存するDK同値であることを示すこと。
• $\mathbf{RelCat}$とレーツの完全セガール空間構造を備えた単体的空間の圏の間のクイレン同等を構築すること。
• $\mathbf{RelCat}$に同じ弱同値をもち、反対関手によって関連づけられた逆転モデル構造の存在を示すこと。
• 相対圏およびその分割に適応した、トーマソンのリフト構成の相対的バージョンを提供すること。

提案手法

• 単体的空間（$\mathrm{s}\boldsymbol{S}$）におけるリーリーのモデル構造を、随伴$K_\xi \dashv N_\xi$を介して$\mathbf{RelCat}$にクイレン同等のモデル構造へ引き上げる。
• 相対順序集合上の2重分割関手$\xi = \xi_t \circ \xi_i$を導入し、トーマソンの単一分割を一般化し、引き上げプロセスを可能にする。
• 引き上げのターゲットモデル圏として、単体的空間上のリーリーのモデル構造およびその左ボウスフィールド局所化を用いる。
• 右随伴$N_\xi$が生成元の自明な被覆を弱同値に送ることを検証し、モデル構造の引き上げ条件を保証する。
• ドワーリング写像を、相対圏の設定における被覆として用い、小さな対象の作用と閉包性（再帰的リトラクション、押し出し、超限合成）を適用する。
• リーリーのモデル構造におけるそれらの性質を活用することで、引き上げられたモデル構造の左および右の正則性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\infty,1)$-圏のホモトピー理論をモデル化する$\mathbf{RelCat}$におけるクイレン同等のモデル構造を構築できるか？
• RQ2 このモデル構造における弱同値が、相対圏間のDK同値であるか？
• RQ3 相対順序集合上の2重分割関手$\xi = \xi_t \circ \xi_i$は、単体的空間からのモデル構造の引き上げに十分な制御を提供するか？
• RQ4 同じ弱同値をもち、ファイブレーションと被覆が逆転した相対圏上の逆転モデル構造を定義できるか？
• RQ5 相対圏上の反対関手は、元のモデル構造と逆転モデル構造の間のクイレン同等であるか？

主な発見

• レーツの完全セガール空間モデル構造が単体的空間から引き上げられた、$\mathbf{RelCat}$におけるクイレン同等のモデル構造が成功裏に構築された。
• 引き上げられた$\mathbf{RelCat}$におけるモデル構造の弱同値は、まさにDK同値であり、この文脈における正しい同値の概念であることが確認された。
• 相対順序集合上の2重分割$\xi = \xi_t \circ \xi_i$は引き上げプロセスに不可欠であり、必要なホモトピー的制御を保証する。
• 同じ弱同値をもち、ファイブレーションと被覆が逆転した相対圏上の逆転モデル構造が存在し、反対関手によって関連づけられる。
• 相対圏上の反対関手は、元のモデル構造と逆転モデル構造の間のクイレン同等である。これは、$(\infty,1)$-圏の自己同値の合同空間が可縮であることを反映している。
• 引き上げられたモデル構造の左および右の正則性は、$\mathrm{s}\boldsymbol{S}$上のリーリーのモデル構造から、右随伴$N_\xi$が極限を保存し、引き上げ条件を満たすことで引き継がれる。