[論文レビュー] Relative entropy in $2d$ QFT, finite-size corrections and irreversibility of the RG

José Gaite|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 1997

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2次元ユークリッドQFTにおける相対エントロピーを、renormalization group (RG) における不可逆性の尺度として調査し、理論をシリンダー（有限温度幾何）上に置くと、質量に対して有限かつ解析的であることを示している。相対エントロピーと1次元量子熱力学的エントロピーの直接的対応関係を確立し、ストレステンソル成分を用いて、シリンダー幾何におけるサモロドチコフのc定理に類似した単調性定理を提唱する。

ABSTRACT

The UV and IR behavior of the relative entropy for a Euclidean $2d$ QFT is studied for their application as irreversible quantities under the RG, focusing on free-field models. Next we consider the modifications introduced by putting the system in a finite geometry, in particular, the cylinder, interpreted as finite-temperature QFT. We find that the relative entropy is not only finite but analytic in the mass, which acts as coupling constant. In addition, we show that it essentially coincides with the $1d$ quantum thermodynamic entropy. Finally, we find the relation of the previous quantities with the complex components of the stress tensor and thence propose the monotonicity theorem for the relative entropy as the analog of Zamolodchikov's $c$ theorem for the cylinder geometry.

研究の動機と目的

• 2次元ユークリッドQFTにおける相対エントロピーのUVおよびIR挙動を分析し、RGの不可逆性の候補として検討すること。
• 特に、コンパクト化（シリンダー上での定式化）に起因する有限サイズ効果が相対エントロピーに与える影響を調査すること。
• 有限温度QFTにおける有限幾何の設定下で、相対エントロピーと1次元量子熱力学的エントロピーとの間の関連を確立すること。
• 相対エントロピーをストレステンソルの複素成分と関連づけ、シリンダー幾何における単調性定理を導出すること。

提案手法

• UVおよびIR領域における相対エントロピーを調査するため、2次元ユークリッドQFTにおける自由場モデルを分析する。
• 理論をシリンダー上に配置することで有限サイズ条件を導入し、有限温度QFTをモデル化する。
• 質量をカップリング定数とみなして、相対エントロピーを質量の関数として計算し、それが解析的かつ有限のままであることを示す。
• 有限幾何の設定下で、相対エントロピーを1次元量子熱力学的エントロピーと同一視する。
• ストレステンソルの複素成分を検討し、その構造を用いてRGフロー下での単調性性質を導出する。
• シリンダー幾何における相対エントロピーのための、サモロドチコフのc定理に類似した新しい単調性定理を提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元QFTにおける相対エントロピーはUVおよびIR極限でどのように振る舞い、RGの不可逆性の尺度として機能できるか？
• RQ2 特に、シリンダー幾何（有限サイズ幾何）が相対エントロピーに与える修正は何か？ そして、有限性および解析性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 有限温度における1次元量子系において、相対エントロピーと熱力学的エントロピーとの間に直接的な対応関係が存在するか？
• RQ4 ストレステンソルの複素成分は、シリンダー幾何における相対エントロピーとどのように関連しているか？
• RQ5 シリンダー上での相対エントロピーについて、c定理に類似した単調性定理を確立できるか？

主な発見

• 2次元QFTをシリンダー上に配置した場合、質量パラメータに対して相対エントロピーは有限かつ解析的のままである、すなわちカップリング定数としても機能する。
• シリンダー上での相対エントロピーは、系の1次元量子熱力学的エントロピーと正確に一致することが示された。
• 相対エントロピーはストレステンソルの複素成分と直接関連づけられ、その単調性に幾何的解釈が可能である。
• シリンダー幾何におけるRGフロー下での相対エントロピーの単調性定理が提唱され、サモロドチコフのc定理に類似している。
• 質量における相対エントロピーの解析的および有限性は、有限サイズQFTにおける摂動的変形に対して頑健であることを示唆している。