[論文レビュー] Relatively hyperbolic groups: Intrinsic geometry, algebraic properties, and algorithmic problems

Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2004

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、相対的等周不等式とvan Kampen図を用いて相対的双曲的性質を特徴づけ、群が部分群の族に関して双曲的であるための必要十分条件を示している。具体的には、群が部分群の族に関して双曲的であることと、その相対的デーン関数が線形であることの同値性を証明している。このアプローチは、従来の定義から有限性および有限生成性の仮定を除去し、カスプ群、小変形キャンセレーション商、幾何的有限収束群など多様な群に適用可能なアルゴリズム的・幾何的道具を提供する。

ABSTRACT

We suggest a new approach to the study of relatively hyperbolic groups based on relative isoperimetric inequalities. Various geometric, algebraic, and algorithmic properties are discussed.

研究の動機と目的

• 有限生成群や部分群に限らない相対的双曲的性質の定義を一般化し、過去の定義に課されていた制限的仮定を除去すること。
• 相対的等周不等式とvan Kampen図を用いて相対的双曲的性質を特徴づけること。
• Bowditchの動的定義とFarbのコセットグラフ定義の両方の枠組みを統合的かつ一般化された設定に拡張すること。
• 相対的双曲的群における単語問題とメンバー問題を解くためのアルゴリズム的道具を提供すること。
• 今後の研究における可算群の埋め込み定理の基盤を築くこと。

提案手法

• 生成集合と部分群の陪類の和集合上で定義された相対的表示と長さ関数を用いて、相対的幾何を定式化する。
• van Kampen図を用いて相対的デーン関数を分析し、等周不等式を導出する。
• サイクルの複雑さを制御し、ラベルタイプの有限性を保証するために、相対的ケイリー図における原子的サイクルの概念を導入する。
• 相対的ケイリー図 Γ(G, X ∪ H) の双曲的性質を用いて、準地図的挙動と成分の分離を制御する。
• 語長に対する帰納法を用いて、van Kampen図内のセル数を評価し、相対的デーン関数が高々指数関数的であることを証明する。
• 相対的ケイリー図の双曲的性質を活用し、補題2.54を用いて相対的デーン関数が実際に線形であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成性を仮定せずに、相対的等周不等式のみを用いて相対的双曲的性質を特徴づけられるか？
• RQ2 相対的双曲的群におけるvan Kampen図と相対的デーン関数の挙動はいかなるものか？
• RQ3 一般化された設定において、FarbのBCP付き定義とBowditchの動的定義の関係は何か？
• RQ4 相対的双曲的群において、単語問題とメンバー問題はアルゴリズム的に解けるか？
• RQ5 カスプ群や小変形キャンセレーション商などの群における、相対的双曲的性質の幾何的・アルゴリズム的結果は何か？

主な発見

• 群 G が部分群 H₁,…,Hₘ に関して双曲的であることと、G の相対的デーン関数が線形であることとは、Bowditch や Farb（BCP付き）の意味での双曲的性質と同値である。
• 相対的ケイリー図におけるすべての原子的サイクルのラベル集合は有限であり、これは有限な相対的表示の存在を保証する。
• 長さ n の語に対して相対的デーン関数は 2ⁿ で上から抑えられるが、相対的ケイリー図の双曲的性質により、この上限は線形に改善される。
• G において単位元を表す長さ ≤ n の語 W は、境界ラベルが W で、有限集合 A からの語でラベル付けされたセルを高々 2ⁿ 個もつ、van Kampen 図をもつ。
• 相対的ケイリー図 Γ(G, X ∪ H) は双曲的であり、この双曲的性質が相対的デーン関数が線形であることを示唆する。
• G と Hᵢ が有限生成であるとき、一般化された相対的双曲的性質の定義は、Bowditch や Farb の定義と同値である。