[論文レビュー] Relativistic elastodynamics

Michael Wernig-Pichler|ArXiv.org|May 4, 2006

Geotechnical and Geomechanical Engineering被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、ローレンツ型計量を備えた時空多様体と体積形式を備えた物質多様体を用いて、ラグランジュ場理論として相対論的弾性力学を定式化し、作用原理から運動方程式を導出する。主な貢献は、境界を含む有界および無限領域において、一貫した境界条件と強収縮性（coerciveness）結果を導出し、局所的well-posednessを証明することであり、線形化されたレベルで古典的弾性理論と一致するきめ細かい非相対論的極限を示している。

ABSTRACT

There are many different formulations of relativistic elasticity. Most of them are only concerned with formal questions rather than questions regarding the PDE point of view. The aim of this thesis is to obtain various local existence results for dynamical scenarios involving elastic matter. Following Beig and Schmidt we treat relativistic elasticity as a Lagrangian field theory. The basic unknowns are mappings between spacetime and an abstract material manifold. The equations of motion will be the Euler-Lagrange equations arising from the action principle. Under certain (physically reasonable) restrictions on the elastic properties of the material the resulting system is hyperbolic and local existence results can be derived. This way we can show well-posedness for the equations describing elastic matter on a fixed gravitational background, self-gravitating elastic matter and a finite elastic body on a fixed background. The thesis also contains some results on energy conservation and on linearized elasticity.

研究の動機と目的

• 幾何的かつ場理論的枠組みの中で、弾性体の整合的な相対論的理論を構築すること。
• 境界を伴う状況下でも、相対論的弾性力学におけるきめ細かな局所的well-posedness理論の欠如に取り組むこと。
• 線形化領域において、古典的弾性理論を回復する整合的な非相対論的極限を確立すること。
• 曲がった時空における有界な弾性体領域に対する境界条件を導出し、分析すること。
• アインシュタイン場方程式を介して重力を理論に組み込み、重力-弾性力学系を形成すること。

提案手法

• 保存エネルギー関数と時空から物質多様体への写像に基づく、時空ラグランジアンから相対論的弾性力学を定式化する。
• lapse、shift、空間計量を用いた時空の3+1分解を用いて、葉付き時空における力学的挙動を分析する。
• 作用原理を用いて運動方程式を導出し、時空記述において2階の双曲型偏微分方程式を得る。
• エネルギー法と強収縮性推定を用いて、適切な境界条件を満たす有界領域における解の局所的存在および一意性を証明する。
• 光速の逆数で展開することで非相対論的極限を実行し、線形化されたレベルで古典的弾性力学に収束することを示す。
• 時間に依存する物質多様体から空間的超曲面への写像を用いた物質記述を用いて、力学的挙動と保存量を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界を含む有界および無限領域における時空において、一貫した境界条件を備えたwell-posedな双曲型系として、相対論的弾性力学理論を定式化できるか？
• RQ2 相対論的理論は、適切な極限において、特に線形化されたレベルで、非相対論的古典的弾性理論にどのように還元されるか？
• RQ3 相対論的弾性力学系における対称性に関連する保存量は何か？それらはエネルギーと運動量とどのように関係するか？
• RQ4 アインシュタイン場方程式を介して、理論を重力と整合的に結合できるか？重力-弾性力学系として一貫性を保てるか？
• RQ5 有界領域における弾性作用素の強収縮性を保証する条件は何か？これにより局所的well-posednessが可能になる。

主な発見

• 本稿は、適切な境界条件の下で、弾性作用素の強収縮性を証明することにより、有界領域における相対論的弾性力学の局所的well-posednessを確立した。
• 相対論的ラグランジアンの非相対論的極限は、標準的な非相対論的弾性力学の作用に一致し、古典理論と整合的であることを確認した。
• 線形化された相対論的弾性力学は、線形化された非相対論的理論と正確に一致しており、線形化レベルでは両者に差がないことが示された。
• 時空ラグランジアンから導かれるエネルギー運動量テンソルは、時空の対称性に関連する保存則を満たす。
• 理論はアインシュタイン場方程式を介して重力と整合的に結合され、一貫した重力-弾性力学系を形成した。
• Christoffel記号の3+1分解が、lapse、shift、空間計量の言いかえで明示的に導出され、場方程式の数値的および解析的取り扱いを可能にした。