[論文レビュー] Remarks on Automorphism and Cohomology of Cyclic Coverings

Renjie Lyu, Xuanyu Pan|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、次元が2以上の射影空間の滑らかな有限巡回被覆（二次超曲面を除く）に対して、自己同型群のコhomologyへの作用が忠実であることを確立する。ホッジ理論、変形理論、正標数における持ち上げ基準を用いて、特徴値0および正標数の両方において、非自明な自己同型がエタールコホモロジー群 $ H^n_{\text{ét}}(X, \bbQ_l) $ に非自明に作用することを証明し、古典的なトーリ型結果をこのクラスの代数的多様体へと拡張する。

ABSTRACT

For a smooth finite cyclic covering over a projective space of dimension greater than one, we show that the group of automorphisms acts faithfully on the cohomology except for a few cases. In characteristic zero, we study the equivariant deformation theory and automorphism groups for complex cyclic coverings. The proof uses the decomposition of the sheaf of differential forms due to Esnault and Viehweg. In positive characteristics, a lifting criterion of automorphisms reduces the faithfulness problem to characteristic zero. To apply this criterion, we prove the degeneration of the Hodge-de Rham spectral sequences for a family of smooth finite cyclic coverings, and the infinitesimal Torelli theorem for finite cyclic coverings defined over an arbitrary field.

研究の動機と目的

• 特徴値0における、射影空間 $ \bbP^n_{\bbC} $ の滑らかな有限巡回被覆 $ X \to \bbP^n_{\bbC} $ に対して、自己同型群 $ \operatorname{Aut}(X) $ がそのコホモロジー群 $ H^n(X, \bbC) $ に忠実に作用するかを特定すること。
• 持ち上げ技法とクリスタリンコホモロジーを用いて、この忠実性結果を正標数へと拡張すること。
• 複素数体上の巡回被覆に対して、無限小トーリ型定理と変形理論を確立し、自己同型表現を分析すること。
• 幾何学的およびコホモロジカルな議論により、2次元巡回被覆および例外的ケースの忠実性問題を解決すること。
• 非二次超曲面の巡回被覆に対して、自己同型群が有限であることを証明し、忠実性の主張を裏付けること。

提案手法

• EsnaultとViehwegによる巡回被覆上の微分形式層の分解を用いて、コホモロジカルな性質を分析する。
• 等変変形理論とKodaira-Spencer写像を適用し、自己同型群 $ G $ がコホモロジーに自明に作用する場合の変形函子 $ \text{Def}_X^G $ の障害を研究する。
• 文献[23, Theorem 1.7]における持ち上げ基準を用いて、正標数の場合を特徴値0へと還元する。具体的には、自己同型をWitt環 $ W(K) $ に持ち上げる。
• ホッジ＝ド・ラームのスペクトル系列の退化および任意の体上での有限巡回被覆に対する無限小トーリ型定理に依拠する。
• クリスタリンコホモロジーとエタール・クリスタリンコホモロジー間の比較同型を用いて、正標数における自己同型の作用を特徴値0における作用と関連付ける。
• Grothendieck–Lefschetzの定理とPicard群のねじれ自由性を用いて、2次元の場合の自己同型群の有限性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $ n \geq 2 $ である滑らかな有限巡回被覆 $ X \to \bbP^n_{\bbC} $ に対して、自己同型群 $ \operatorname{Aut}(X) $ は $ H^n(X, \bbC) $ に忠実に作用するか。ただし、二次超曲面を除く。
• RQ2 正標数におけるエタールコホモロジーへの自己同型作用の忠実性は、持ち上げ基準を用いて特徴値0の場合へと還元可能か。
• RQ3 自己同型群 $ G \subset \operatorname{Aut}(X) $ がコホモロジーに自明に作用する場合、等変変形函子 $ \text{Def}_X^G $ が常に障害なしに保たれる条件は何か。
• RQ4 巡回被覆に対する無限小トーリ型定理は、自己同型表現の忠実性をどのように支援するか。
• RQ5 2次元巡回被覆の自己同型群 $ \operatorname{Aut}(X) $ の構造は何か。また、なぜ標準的な議論がこの場合に失敗するのか。

主な発見

• 次元 $ n \geq 2 $ である滑らかな複素数体上の有限巡回被覆 $ X \to \bbP^n_{\bbC} $ に対して、$ X $ が二次超曲面でない限り、自己同型群は $ H^n(X, \bbC) $ に忠実に作用する。
• 正標数において、次元 $ n \geq 2 $ である巡回被覆 $ X $ に対して、自己同型群 $ \operatorname{Aut}(X) $ は $ H^n_{\text{ét}}(X, \bbQ_l) $ に忠実に作用する。ただし、二次超曲面を除く。
• 複素数体上の巡回被覆に対して、無限小トーリ型定理が成り立ち、Kodaira–Spencer写像がペア $ (X, G) $ の非自明な変形を検出可能であることを保証する。
• 任意の体上での有限巡回被覆に対して、ホッジ＝ド・ラームのスペクトル系列が退化し、ド・ラームコホモロジーとエタールコホモロジーとの比較が可能になる。
• 非二次超曲面の巡回被覆に対して、自己同型群 $ \operatorname{Aut}(X) $ は有限である。これは $ \operatorname{Aut}_L(D) $ の有限性および無限小自己同型の自明性により示される。
• 3重被覆が $ \bbP^2 $ に分岐する3次曲面および2重被覆が4次曲面に分岐する2例の例外的ケースに対しては、ブローモップの議論とファノ多様体の構造により忠実性が確立される。