[논문 리뷰] Remarks on Boundaries, Anomalies, and Noninvertible Symmetries

Yichul Choi, Brandon C. Rayhaun외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 05. 16.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 125인용 수 10

한 줄 요약

본 논문은 비가역적(global) 전역 대칭 하에서 1+1d 및 2+1d에서 경계가 어떻게 동작하는지 분석하고, 강한 대칭 경계와 약한 대칭 경계를 구분하며, 이를 이상현상, 게이징, 및 RG 흐름과 연결한다.

ABSTRACT

What does it mean for a boundary condition to be symmetric with respect to a non-invertible global symmetry? We discuss two possible definitions in 1+1d. On the one hand, we call a boundary weakly symmetric if the symmetry defects can terminate topologically on it, leading to conserved operators for the Hamiltonian on an interval (in the open string channel). On the other hand, we call a boundary strongly symmetric if the corresponding boundary state is an eigenstate of the symmetry operators (in the closed string channel). These two notions of symmetric boundaries are equivalent for invertible symmetries, but bifurcate for non-invertible symmetries. We discuss the relation to anomalies, where we observe that it is sometimes possible to gauge a non-invertible symmetry in a generalized sense even though it is incompatible with a trivially gapped phase. The analysis of symmetric boundaries further leads to constraints on bulk and boundary renormalization group flows. In 2+1d, we study the action of non-invertible condensation defects on the boundaries of $U(1)$ gauge theory and several TQFTs. Starting from the Dirichlet boundary of free Maxwell theory, the non-invertible symmetries generate infinitely many boundary conditions that are neither Dirichlet nor Neumann.

연구 동기 및 목표

• 1+1d 및 그 이상 차원에서 경계가 비가역적(global) 전역 대칭에 대해 대칭적이라는 것이 무엇을 의미하는지 조사한다.
• 강하게 대칭되는 경계와 약하게 대칭되는 경계를 특징화하고 그 운동학적 함의를 설명한다.
• 비가역 설정에서 경계 대칭 속성을 ’t Hooft 이상현상과 게이징과 연관짓는다.
• CFT와 격자 모델의 구체적 예를 제시하여 두 가지 대칭 개념을 설명한다.
• 경계 및 벌크 RG 흐름에의 응용과 고차원 확장을 탐구한다.

제안 방법

• 두 가지 경계의 대칭 개념을 정의하고 구분한다: 강한 대칭(경계 상태가 토폴로지 선의 고유상태)과 약한 대칭(토폴로지 선이 경계에 닿아 끝날 수 있음).
• 융합 범주 언어를 사용하여 토폴로지 결함 선이 경계에 작용하는 것을 NIM-reps와 모듈 범주를 통해 묘사한다.
• 주어진 융합 범주가 강하게 또는 약하게 대칭 경계를 허용하는지 분석하여 대칭 경계와 이상현상 제약 및 게이징과의 연관성을 밝힌다.
• 구체적인 1+1d 예제(Ising 모델, compact free boson) 및 격자 구현을 사용하여 경계 상태 분류를 설명한다.
• 응축(defects) 결함을 통해 2+1d로 논의를 확장하고 비가역 대칭에서 발생하는 부분적으로 Dirichlet 경계들을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1+1d에서 비가역적 글로벌 대칭에 대해 경계가 대칭적이라는 것이 무엇을 의미하는가?
• RQ2 융합 범주가 강하게 대칭 경계를 허용하는가, 아니면 약하게 대칭 경계만 허용하는가?
• RQ3 비가역 대칭에서 이상현상과 게이징의 개념은 어떻게 갈라지며, 이로 인한 동역학적 결과는 무엇인가?
• RQ4 대칭 속성에서 발생하는 경계 및 벌크 RG 흐름에 대한 구체적인 제약은 무엇인가?
• RQ5 특히 2+1d에서 응축 결함을 통해 경계에 비가역 대칭이 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 경계는 강하게 대칭될 수 있고(경계 상태가 토폴로지 선의 고유상태) 또는 약하게 대칭될 수 있으며(선이 경계에 닿아 끝날 수 있음); 이러한 개념은 가역 대칭에서는 일치하지만 비가역 대칭에서는 다르다.
• 융합 범주가 강하게 대칭 경계를 허용하는 경우는 이상현상과 무관한 정상화 가능한 위상과 호환될 때이며, 약하게 대칭 경계가 가능한 경우는 게이징이 가능할 때이다.
• Ising 모델에서 Z2-대칭 경계 구조는 자유 경계가 Z2-대칭이고 고정 경계는 그렇지 않음을 보여 주며, 비자명한 NIM-rep 구조를 반영한다.
• 고전적 자유 boson의 경우 대각 U(1) 대칭은 이상현상을 가지며 대칭 경계를 갖지 못할 수 있지만, 운동량/쳐odd 대칭은 대칭 경계를 구현할 수 있다.
• 고차원에서 일반화된 대칭은 경계 조건에 대해 TQFT 값의 행렬 표현으로 작용하며, 2+1d의 응축 결함은 부분 Dirichlet 경계의 무한한 계를 생성한다.
• 응용으로는 경계 및 벌크 RG 흐름에 대한 제약, 비이상현상이라도 비자명하게 구현된 대칭에서의 RG 종점에 대한 비평이 제시된다.