[論文レビュー] Remarks on Chern-Simons Theory

Daniel S. Freed|ArXiv.org|Aug 19, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、トポロジカル量子場理論（TQFT）の基礎的例としてのチャーン・サイモンズ理論について包括的な概説を提供している。古典的なチャーン・サイモンズ形式がチャーン・ヴェイル形式のトランスグレッションからどのように生じるかを説明し、ウィッテンの経路積分による構成がトポロジカルで、ジョーンズ多項式に関連する量子不変量を生むことを示している。この理論は幾何学、位相幾何学、および量子場理論に深い影響を持つ。

ABSTRACT

In the late 1980s Witten used the Chern-Simons form of a connection to construct new invariants of 3-manifolds and knots, recovering in particular the Jones invariants. Since then the associated topological quantum field theory (TQFT) has served as a key example in understanding the structure of TQFTs in general. We survey some of that structure with a particular focus on the "multi-tier" aspects. We discuss general axioms, generators-and-relations theorems, a priori constructions, dimensional reduction and K-theory, and Chern-Simons as a 0-1-2-3 theory. An appendix gives a lightening treatment of the Chern-Simons-Weil theory of connections. The paper concludes with general remarks about the Geometry-QFT-Strings interaction.

研究の動機と目的

• チャーン・サイモンズ理論の背後にある数学的構造を、古典的および量子的両面から明確化すること。
• チャーン・サイモンズ不変量が、チャーン・ヴェイル形式のトランスグレッションを通じて二次的特徴類としてどのように出現するかを説明すること。
• ウィッテンの量子チャーン・サイモンズ不変量を、トポロジカル量子場理論（TQFT）の公理的構造に位置づけること。
• 一般に測度の厳密な構成が不可能であるにもかかわらず、経路積分がどのようにトポロジカル不変量を構成するかを強調すること。
• チャーン・サイモンズ理論と微分特性類、アティヤ・パラディ・サインァー不変量、およびジョーンズ多項式などの絡み目の不変量との関係を確立すること。

提案手法

• 主 bundle の全空間上で、対角的切断による引き戻しを用いて、チャーン・ヴェイル形式のトランスグレッションによりチャーン・サイモンズ形式を定義する。
• ストークスの定理を適用し、チャーン・サイモンズ形式の微分が、二つの接続における曲率形式の差に一致することを示す。
• 普遍 bundle への分類写像と、分類空間内でのコボルディズム鎖を用いて、非自明な主 bundle 上の接続に対してチャーン・サイモンズ不変量を構成する。
• 経路積分形式を用い、すべての接続の空間上で指数化されたチャーン・サイモンズ作用を統合することで、量子不変量を定義する。
• 圏論的言語を用いて TQFT の公理を形式化し、ホモロジー理論と類似するが、乗法的構造と次元に依存する構造に重点を置く。
• チャーン・サイモンズ形式が引き戻しに関して関手的であり、群作用に関して不変であることを示し、コンパクトなリー群の場合は1を法として不変であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チャーン・サイモンズ形式はどのようにチャーン・ヴェイル形式のトランスグレッションから生じるのか。その幾何的意味は何か。
• RQ2 経路積分は、量子チャーン・サイモンズ理論においてどのようにトポロジカル不変量を構成するか。
• RQ3 チャーン・サイモンズ不変量は、全測地的曲率などの古典的幾何的不変量をどのように一般化するか。
• RQ4 チャーン・サイモンズ理論は、トポロジカル量子場理論の一般的構造をどのように具体例として示すか。
• RQ5 非自明な主 bundle に対してチャーン・サイモンズ不変量はどのように正しく定義されるのか。分類空間はどのような役割を果たすか。

主な発見

• 主 G-bundle P の全空間上でのチャーン・サイモンズ形式 α(Θ) は、閉じた (2p−1)-形式であり、底空間への引き戻しによって得られる形式の微分は、曲率形式の引き戻しに一致する。
• チャーン・サイモンズ不変量 S(Θ) ∈ ℝ/ℤ は、1を法として正しく定義されており、代表接続や切断の選び方に依存しない。ただし、不変多項式が整数周期を持つことが条件である。
• 閉じて向き付けられた (2p−1)-次元多様体 M に対して、P が自明化可能であれば、S(Θ) は切断 s: M → P の選び方に依存しない。
• 一般に非自明な bundle の場合、不変量は分類写像 γ: P → EG と、∂W = N·γ([M]) を満たす BG 内のコボルディズム W を用いて定義され、トポロジカル不変性が保証される。
• 経路積分の構成により、トポロジカルで、ジョーンズ多項式に関連する量子不変量が得られ、3次元 TQFT の完全な構造を持つ。
• チャーン・サイモンズ理論にインspiredされた TQFT の公理的枠組みは、ホモロジー理論に類似しているが、乗法的構造と次元に依存する公理を持つ。