[論文レビュー] Remarks on curvature behavior at the first singular time of the Ricci flow

Nam Q. Le, Nataša Šešum|arXiv (Cornell University)|May 7, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体上のリッチフローの最初の特異時刻における曲率の挙動を調査する。一様なスカラー曲率の有界性のもとで、タイプI特異性はペレラの $χ$-汎関数を用いたスケーリングされた計量のポイントワイズ・チーリング・グロモフ収束によってガウスノイドに収束するが、タイプII特異性は、リッチ平坦多様体上でのスケーリングされたポテンシャル関数が正の定数に収束する。主な結果として、積分的スカラー曲率の有界性が、滑らかに延長可能であるか、またはタイプII特異性の形成を示すことを確立する。

ABSTRACT

In this paper, we study curvature behavior at the first singular time of solution to the Ricci flow on a smooth, compact n-dimensional Riemannian manifold $M$, $\frac{\partial}{\partial t}g_{ij} = -2R_{ij}$ for $t\in [0,T)$. If the flow has uniformly bounded scalar curvature and develops Type I singularities at $T$, using Perelman's $\mathcal{W}$-functional, we show that suitable blow-ups of our evolving metrics converge in the pointed Cheeger-Gromov sense to a Gaussian shrinker. If the flow has uniformly bounded scalar curvature and develops Type II singularities at $T$, we show that suitable scalings of the potential functions in Perelman's entropy functional converge to a positive constant on a complete, Ricci flat manifold. We also show that if the scalar curvature is uniformly bounded along the flow in certain integral sense then the flow either develops a type II singularity at $T$ or it can be smoothly extended past time $T$.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上のリッチフローの最初の特異時刻における曲率挙動を分析すること。
• 一様なスカラー曲率の有界性が、特異時刻を越えて滑らかに延長可能であるか、特異性のタイプを分類することを示すこと。
• ペレラのエントロピーおよび $χ$-汎関数を用いて、吹き上げ極限におけるスケーリングされた計量およびポテンシャル関数の収束を確立すること。
• 空間時空領域におけるスカラー曲率の積分的有界性が、流れが滑らかに延長されない限りタイプI特異性を防ぐことを証明すること。

提案手法

• ペレラの $χ$-汎関数および擬局所定理に基づく吹き上げ論法を用いて、タイプI特異性を分析する。
• 放物的スケーリングにおけるスケーリングされた計量のポイントワイズ・チーリング・グロモフ収束を用いて、漸近的極限空間を同定する。
• 定理4.1から導かれる正規化された勾配収縮ソリトン構造を用いて、極限挙動を分析する。
• ホルダーの不等式および放物的スケーリング不変性を用いて、スケーリングされたフローにおけるスカラー曲率の積分ノルムを制御する。
• 分布的収束およびウェイルの定理を用いて、極限ポテンシャル関数の調和性および定数性を導出する。
• 極限の勾配収縮ソリトンの非自明性に基づく背理法を用いて、スカラー曲率がゼロになる場合の平坦性を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一様なスカラー曲率の有界性のもとで、コンパクト多様体上のリッチフローは、有限時刻における特異性を越えて滑らかに延長可能であるか、それともタイプII特異性を示すか？
• RQ2 スカラー曲率が一様に有界な場合、タイプI特異性に近いスケーリングされたリッチフローの漸近的幾何はどのようなものか？
• RQ3 タイプII特異性の条件下で、ペレラのエントロピー汎関数におけるスケーリングされたポテンシャル関数は、最初の特異時刻においてどのように振る舞うか？
• RQ4 空間時空領域におけるスカラー曲率の積分的有界性が、流れが滑らかに延長されない限りタイプI特異性を防げるか？

主な発見

• 一様に有界なスカラー曲率をもつタイプI特異性では、適切なスケーリングされた計量がポイントワイズ・チーリング・グロモフ収束によりガウスノイドに収束する。
• 一様に有界なスカラー曲率をもつタイプII特異性では、ペレラのエントロピー汎関数におけるスケーリングされたポテンシャル関数が、完全でリッチ平坦な多様体上での正の定数に収束する。
• スカラー曲率が $\int_0^T \int_M |R|^\alpha \, dvol_{g(t)} \, dt \leq C$ を満たす $\alpha \geq \frac{n+2}{2}$ であれば、流れは時間 $T$ を超えて滑らかに延長可能であるか、タイプII特異性を示す。
• スケーリングによって得られる極限の勾配収縮ソリトンは非自明であり、これが積分スカラー曲率ノルムが極限でゼロになる場合にスカラー平坦性を矛盾させる。
• タイプIの場合、極限多様体が $\mathbb{R}^n$ に等長であるのは、スカラー曲率が極限でゼロになる場合に限るが、これはソリトンの非自明性に矛盾する。
• ポテンシャル関数の極限から得られる調和関数は、完全なリッチ平坦多様体上での四葉の定理により定数であり、正規化によりその定数はちょうど1である。