[論文レビュー] Remarks on formal deformations and Batalin-Vilkovisky algebras

Vadim Schechtman|ArXiv.org|Feb 2, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 2被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、Calabi-Yau多様体の正準束上の接続が積分可能である場合と、多ベクトル場代数上のBatalin-Vilkovisky (BV) 構造との間に、標準的な全単射を確立する。既知の $\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上のBV構造を、正準束の自明化が不要であることを示すことで一般化する。主な結果は、$\mathcal{O}_X$ 上の右 $\Delta_X$-加群構造と $\u039b^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上のBV構造との間の一対一対応であり、Lie代数ダクトとSchouten括弧を含むより一般的な枠組みへと拡張される。

ABSTRACT

This note consists of two parts. Part I is an exposition of (a part of) the V.Drinfeld's letter, [D]. The sheaf of algebras of polyvector fields on a Calabi-Yau manifold, equipped with the Schouten bracket, admits a structure of a Batalin-Vilkovisky algebra. This fact was probably first noticed by Z.Ran, [R]. Part II is devoted to some generalizations of this remark.

研究の動機と目的

• Calabi-Yau多様体上での多ベクトル場代数 $\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上の既知のBatalin-Vilkovisky (BV) 代数構造を、正準束が自明化されている場合に限らない形で一般化すること。
• BV構造が正準束 $\mathcal{K}_X$ の自明化から生じるのではなく、$\mathcal{K}_X$ 上の積分可能接続から生じることを示すこと。これはより弱く、より一般的な条件である。
• 正準束 $\mathcal{K}_X$ 上の積分可能接続の集合と、$\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上のBV構造の集合との間に、標準的かつ函子的な対応関係を確立すること。これは以前の結果を一般化する。
• この対応関係を、右 $\mathcal{D}_X$-加群、Lie代数ダクト、対称代数上のSchouten括弧を含むより広範な代数的枠組みへと拡張すること。

提案手法

• 論文は、gradedベクトル空間とGerstenhaber代数の形式的枠組みを用いて、$\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上のSchouten括弧を定義し、これはBV構造の中心的役割を果たす。
• 右 $\mathcal{D}_X$-加群構造 $\mathcal{O}_X$ 上に誘導された作用を満たす、$\mathcal{O}_X$ 上の右 $\mathcal{D}_X$-加群構造を満たす「CY A-構造」という概念を導入する。これはLeibniz型の恒等式を満たす。
• 鍵となる技術的道具は、$\nabla^r: \mathcal{T}_X \to \mathcal{O}_X$ で、$\nabla^r(a\tau) = a\nabla^r(\tau) - \tau(a)$ を満たす写像を介した、$\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上の1次微分作用素の構成であり、これは接続に起因する微分作用素の一般化である。
• 論文は、$\text{Gerst}^{[-1,0]} \to \text{Gerst}$ への左随伴関手 $S$ を構成し、各Lie代数ダクト $({\mathcal{A}}^{-1}, {\mathcal{A}}^0)$ に対して、$S({\mathcal{A}}) = \Lambda^{\bullet}_{{\mathcal{A}}^0}({\mathcal{A}}^{-1})$ を与え、一意的なSchouten括弧を備える。
• 論文は、$S({\mathcal{A}})$ 上のBV構造が、Leibniz則 (4.20) を満たす写像 $\nabla^r: \mathcal{A}^{-1} \to \mathcal{A}^0$ と、標準的全単射にあることを証明する。これは接続に基づく構成を任意のLie代数ダクトへ一般化する。
• 証明は、BV微分の存在と一意性が、Leibniz則 (4.13) のみに依存することに依拠しており、この対応関係においても保存されるため、定理4.3を任意の $\mathcal{D}_X$-加群構造へ一般化できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau多様体上での多ベクトル場代数上でのBatalin-Vilkovisky構造は、正準束の自明化を仮定せずに構成可能か？
• RQ2 正準束 $\mathcal{K}_X$ 上の積分可能接続と、$\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上のBV構造との間に、標準的な対応関係が存在するか？
• RQ3 $\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上のBV構造は、$\mathcal{O}_X$ 上の右 $\mathcal{D}_X$-加群構造から生じるのか？ もしそうなら、その正確な代数的条件は何か？
• RQ4 接続とBV構造の対応関係は、Calabi-Yauの場合を越えて一般化可能か？ また、$\mathcal{T}_X$ 上のLie代数ダクト構造とはどのように関係するか？
• RQ5 Schouten括弧は、$\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上でのBV微分を実現するために果たす役割は何か？ そして、接続からどのように誘導されるのか？

主な発見

• Calabi-Yau多様体 $X$ の正準束 $\mathcal{K}_X$ 上の積分可能接続の集合と、多ベクトル場代数 $\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上のBatalin-Vilkovisky (BV) 構造の集合との間に、標準的な全単射が存在する。
• $\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上のBV構造は、$\mathcal{O}_X$ 上の右 $\mathcal{D}_X$-加群構造によって誘導され、これは $\mathcal{K}_X$ 上の積分可能接続と同値であり、正準束が自明化されている古典的ケースを一般化する。
• この対応関係は、Leibniz則 $\nabla^r(a\tau) = a\nabla^r(\tau) - \tau(a)$ を満たす写像 $\nabla^r: \mathcal{T}_X \to \mathcal{O}_X$ を通じて確立され、$\Lambda^{\bullet}\mathcal{T}_X$ 上のBV微分を生成する。
• 論文は、$\text{Gerst} \to \text{Gerst}^{[-1,0]}$ への切り捨て関手 $t$ に対する左随伴関手 $S$ を構成し、$\mathcal{O}_X$ 上の各Lie代数ダクト $\mathcal{A}$ に対して、$S(\mathcal{A}) = \Lambda^{\bullet}_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{A}^{-1})$ を与え、一意的なSchouten括弧を備える。
• $S(\mathcal{A})$ 上のBV構造は、Leibniz則 (4.20) を満たす写像 $\nabla^r: \mathcal{A}^{-1} \to \mathcal{A}^0$ と、一対一に対応する。これは接続に基づく構成を任意のLie代数ダクトへ一般化する。
• 鍵となる技術的洞察は、BV微分の存在と一意性が、Leibniz則 (4.13) のみに依存することにあり、この対応関係においても保存されるため、定理4.3を任意の $\mathcal{D}_X$-加群構造へ一般化できる。