[論文レビュー] Remarks on irregular conformal blocks and Painlevé III and II tau functions

Hajime Nagoya|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、バーラソロ代数におけるランク $ r $ の不規則頂点演算子の存在と一意性を証明し、$ z $ の分数乗数を含む形式的べき級数展開をもたらす分岐不規則頂点演算子を導入する。主な貢献は、第二および第三のピオンレ方程式の $ \tau $-関数の無限遠点における系列展開を、これらの分岐不規則なコンフォーマルブロックを用いて記述する予想的関係を提示することであり、これはアーギュアス＝ドウグラス理論における磁気的およびダイオン的ネクラソフ分配関数と結びついている。

ABSTRACT

We prove a conjecture on uniqueness and existence of the irregular vertex operators of rank $r$ introduced in our previous paper. We also introduce ramified irregular vertex operators of the Virasoro algebra. As applications, we give conjectural formulas for series expansions of Painlevé III and II tau functions in terms of our ramified irregular conformal blocks.

研究の動機と目的

• バーラソロ代数におけるランク $ r $ の不規則頂点演算子の存在と一意性の予想を、その交換関係と最高重層ベクトルへの作用から厳密に証明すること。
• Virasoro生成子のインデックスが整数のままでも $ z^{1/2} $、$ z^{3/2} $ などの分数乗数を含む展開を可能にする、修正されたOPE構造を持つ新たな分岐不規則頂点演算子のクラスを導入すること。
• 無限遠点における $ \tau $-関数の漸近的系列展開と、中心電荷 $ c=1 $ の分岐不規則コンフォーマルブロックとの間の予想的関係を確立すること。
• $ c=1 $ 対応を介して、これらのコンフォーマルブロック構成をアーギュアス＝ドウグラス理論における磁気的およびダイオン的ネクラソフ分配関数と結びつけること。
• 整数パラメータを複素数に一般化することで、重合一次元場の一般化を図り、ピオンレ超越関数へのより広範な適用可能性を実現すること。

提案手法

• 交換関係と最高重層ベクトルへの作用によって、ランク $ r $ の不規則頂点演算子の存在と一意性を証明し、零ランクの場合の既存結果を一般化する。
• Virasoro生成子 $ L_n $ が整数インデックスのままでも、$ z^{1/2} $、$ z^{3/2} $、およびそれ以上の分数乗数を含む展開を可能にする、修正されたOPE構造を通じて分岐不規則頂点演算子を導入する。
• これらの分岐頂点演算子の期待値として、形式的べき級数展開としての不規則コンフォーマルブロックを構成し、最高重層状態 $ |\Lambda\rangle $ と作用 $ \Phi^{[r],\lambda}_{\Delta,\Lambda}(z)|\Lambda\rangle = z^{\alpha}e^{\sum \beta_i/z^i}\sum v_m z^m $ を用いる。
• スクリーニング作用素を重合一次元場に適用することで、複素数 $ p $ をパrameterとする無限系列の不規則頂点演算子を生成し、以前の整数 $ p $ の構成を一般化する。
• これらの分岐コンフォーマルブロックのフーリエ変換が、無限遠点におけるピオンレ方程式 II および III の $ \tau $-関数の系列展開をもたらすと予想する。中心電荷 $ c=1 $ を用いる。
• ピオンレ方程式 II および III の既知の微分方程式に依拠し、[BLMST] における $ \tau $-関数展開の係数とブロック展開の係数を一致させる。特に、バーンズ $ G $-関数と $ \beta_i $ シフトを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バーラソロ代数におけるランク $ r $ の不規則頂点演算子の存在と一意性は、その交換関係と最高重層ベクトルへの作用から厳密に確立可能か？
• RQ2 標準的な $ z^n $ 展開が分岐特異性のため失敗する場合、無限遠点における漸近的展開のための不規則コンフォーマルブロックを体系的に構成する方法は何か？
• RQ3 中心電荷 $ c=1 $ の分岐不規則コンフォーマルブロックと、第二および第三のピオンレ方程式の $ \tau $-関数の無限遠点における関係は、どのように正確に記述できるか？
• RQ4 これらの分岐ブロックは、アーギュアス＝ドウグラス理論における4次元 $ \mathcal{N}=2 $ SCFTの既知の分配関数、例えば磁気的またはダイオン的ネクラソフ分配関数に対応するか？
• RQ5 重合一次元場における整数パラメータ $ p $ を複素数 $ p \in \mathbb{C} $ に一般化することは可能か？その結果得られる頂点演算子およびコンフォーマルブロックにどのような影響があるか？

主な発見

• ランク $ r $ の不規則頂点演算子の存在と一意性に関する予想が証明され、これらの演算子を用いた不規則コンフォーマルブロックの構成に厳密な基礎が築かれた。
• Virasoro生成子のインデックスが整数のままでも、$ z^{1/2} $ や $ z^{3/2} $ などの $ z $ の分数乗数を含む形式的べき級数展開を生成する分岐不規則頂点演算子が導入された。
• 第三のピオンレ方程式の $ \tau $-関数の無限遠点における系列展開が、分岐不規則コンフォーマルブロックを用いて予想的に与えられ、バーンズ $ G $-関数と $ n \in \mathbb{Z} $ に関する和を含み、[BLMST] における $ \mathrm{P_{III}} $ の係数と一致する。
• 第二のピオンレ方程式の $ \tau $-関数に対しても同様の予想的展開が提示され、$ (2\pi)^{-\nu-n} $、$ (4\sqrt{2})^{-(\nu+n)^2} $、$ G(1+\nu+n\pm\theta/2) $ を含み、複素数パラメータ $ a $ が $ a^{3/2} = -\sqrt{-2} $ を満たす。
• 分岐ブロック展開における隣接する $ \beta_1 $ 係数の差が 4 に一致し、ピオンレ方程式 $ \mathrm{P_{III}} $ の $ \tau $-関数系列展開におけるスクリーニング作用素の関係を示唆している。
• タイプ $ (0,0,1/2) $ の分岐ブロックにおける $ z^{1/2} $ および $ z $ の係数が、$ \Delta' = (\theta_1 - \theta_2)^2/4 $、$ \beta = 4\nu $、$ \Delta = (\theta_1 + \theta_2)^2/4 $、$ c=1 $ の下で、[BLMST] の $ D_1(\nu) $、$ D_2(\nu) $ と一致する。