[論文レビュー] Remarks on the mathematical origin of wave mechanics and consequences for a quantum mechanics in a gravitational field

Mayeul Arminjon|ArXiv.org|Mar 28, 2002

Relativity and Gravitational Theory参考文献 4被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、現代の波動理論を用いて波動力学の数学的起源を再解釈し、混合運動量-位置項を含んでも、古典的ハミルトニアンと量子波動方程式の対応関係が明確であることを示している。重力場における一貫した量子力学は、優先的参照枠組みを必要とすることを主張し、量子重力理論の必要性に疑問を呈している。

ABSTRACT

According to Schroedinger's ideas, classical dynamics of point particles should correspond to the " geometrical optics " limit of a linear wave equation, in the same way as ray optics is the limit of wave optics. It is shown that, using notions of modern wave theory, the " geometrical optics " analogy leads to the correspondence between a classical Hamiltonian H and a " quantum " wave equation in a natural and general way. In particular, the correspondence is unambiguous also in the case where H contains mixed terms involving momentum and position. In the line of Schroedinger's ideas, it is also attempted to justify the occurrence, in QM, of eigenvalues problems, not merely for energy, but also for momentum. It is shown that the wave functions of pure momentum states can be defined in a physically more satisfying way than by assuming plane waves. In the case of a spatially uniform force field, such momentum states have a singularity and move undeformed according to Newton's second law. The mentioned unambiguous correspondence allows to uniquely extend the Klein-Gordon relativistic wave equation to the case where a constant gravitational field is present. It is argued that Schroedinger's wave mechanics can be extended to the case with a variable gravitational field only if one accepts that the wave equation is a preferred-frame one. From this viewpoint, generally-covariant extensions of the wave equations of QM seem rather formal. Finally, it is conjectured that there is no need for a quantum gravity.

研究の動機と目的

• 公理的量子力学を超えて、現代の波動理論を用いて波動力学の数学的基盤を再確立すること。
• 運動量と位置が混合する場合を含め、古典的ハミルトニアンと量子波動方程式の対応関係における曖昧さを解消すること。
• 平面波に依存しない波動力学の原則に基づき、エネルギーだけでなく運動量に対しても固有値問題を正当化すること。
• 波動方程式の構造を保ったまま、定常重力場を含むクライン＝ゴルドン方程式を一貫して拡張すること。
• 重力場における量子力学が、重力の量子化を伴わずに一貫して定式化可能かどうかを、優先的参照枠組みに基づいて調査すること。

提案手法

• 線形媒体内の分散関係理論を適用し、古典的ハミルトニアンと線形波動方程式との間の一対一対応を導出する。
• 幾何的光学の類似性を用いて、混合p-x項が存在しても、古典的軌道が波動方程式の光線解として現れることを示す。
• 波の群速度の一様性、分散関係への適合、時間に依存するシュレーディンガー方程式への適合に基づき、純粋な運動量状態を定義する（平面波に依存しない）。
• 同一の対応原理を保ったまま、定常重力場へのクライン＝ゴルドン方程式の拡張を、波動方程式の構造を維持する形で実施する。
• 重力の力学に優先的参照枠組み（巨視的エーテル）を仮定し、重力を巨視的圧力勾配として扱うスカラー重力理論と整合する。
• 波動力学の原則から、曲がった時空における波動方程式を導出し、一貫性を保つために優先的フレームワークの存在を要請する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンに混合運動量-位置項を含んでも、古典的ハミルトニアンと量子波動方程式の対応関係を明確にできるか？
• RQ2 平面波を仮定するのではなく、より物理的に純粋な運動量状態をどのように定義できるか？
• RQ3 クライン＝ゴルドン方程式のような相対論的波動方程式を、波動力学の原則に反しない形で定常重力場に一貫して拡張可能か？
• RQ4 重力場における量子力学は、優先的参照枠組みを必要とするのか？ 一般共変性にどのような影響を与えるか？
• RQ5 古典的・巨視的重力場に基づき、重力の量子化を伴わずに、曲がった時空における一貫した量子力学を定式化可能か？

主な発見

• ハミルトニアンに混合運動量-位置項が含まれる場合でも、古典的ハミルトニアンと量子波動方程式の対応関係は、幾何的光学極限によって一意に決定される。
• 波動力学において純粋な運動量状態は、平面波を仮定するのではなく、群速度の一様性、分散関係への適合、シュレーディンガー方程式に沿った時間発展に基づいて最も適切に定義される。
• 波動方程式の構造を保ったまま、同一の対応原理を用いることで、クライン＝ゴルドン方程式を定常重力場に一貫して拡張可能である。
• 重力場への量子力学の一貫した拡張には、物理的に優先される参照枠組みの存在が不可欠であり、これは一般共変性に反する。
• 波動力学から導かれる波動方程式と、曲がった時空における方程式との間の動的不整合性は、根本的な矛盾を示唆し、これが量子力学の修正を要請する可能性がある。
• 著者は、重力が微視的渦の統計的挙動に起因する古典的・巨視的効果であるならば、量子重力理論は不要であると推測している。