[論文レビュー] Reminiscences about numerical schemes

С. К. Годунов|ArXiv.org|Oct 3, 2008

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、1953年から1969年までの間、双曲型保存則系に対するゴドノフスキームの発展に関して、S. K. ゴドノフ自身が語る個人的回顧録を提示している。一次精度の人工粘性を用いたスキームから出発し、高次精度法、メッシュの適応、衝撃不連続性のモデル化における数値的粘性の中心的役割を経て、最終的にエントロピーを満たす一般化解の定式化と、スキーム依存の数値的拡散効果の認識に至った。

ABSTRACT

This preprint appeared firstly in Russian in 1997. Some truncated versions of this preprint were published in English and French, here a fully translated version is presented. The translation in English was done by O. V. Feodoritova and V. Deledicque to whom I express my gratitude. In the present paper I will describe how the first variant of the Godunov's scheme has been elaborated in 1953-1954 and tell about all modifications realized by myself (until 1969) and the group of scientists from the Institute of Applied Mathematics in Moscow (which has become the M.V.Keldysh Institute of Applied Mathematics).

研究の動機と目的

• ロシア科学院応用数学研究所で活動していた初期の時代に、ゴドノフの双曲型保存則に対する数値スキームの歴史的発展を再構築すること。
• 衝撃波近傍で第二階精度スキームが安定解を生まない理由と、その背後にある物理的・数学的原理を説明すること。
• 有限差分スキームに由来する数値的粘性が物理的拡散とどのように関係するかを明らかにし、双曲型保存則の一般化解（エントロピーを満たす解）を近似するのに利用可能であるかを検討すること。
• 同一の双曲型系に対して、異なる数値スキームが異なる解を生じる可能性を明らかにし、粘性がゼロに近づく極限における解の一意性が何によって決定されるかを明らかにすること。
• 数値スキーム、一般化解、熱力学的エントロピー条件との関連を、特に移動波解と微小粘性極限の観点から確立すること。
• 実験的物理学者や数学者との学際的議論が、計算流体力学の理論的・計算的基盤をどのように洗練させたかを強調すること。

提案手法

• A. I. ジュコフが、切り捨て誤差に起因する数値的粘性を用いて衝撃波のプロファイルを安定化させるために、一次精度の有限差分法を用いていた既存のアルゴリズムを変更することで、スキームが開発された。
• ゴドノフは、Euler座標系における保存的有限体積形式を導入し、セル界面におけるフラックスを正確なRiemannソルバーで計算する方法を採用した。後に、これがゴドノフスキームとして形式化された。
• 数値的粘性の分析には、一次微分近似の概念が用いられ、差分スキームにおける切り捨て誤差と人工的拡散の関係が結びつけられた。
• 形が $ q_i = q_i((x - \rho t)/\varepsilon) $ である移動波解を用いて、微小粘性下での解の挙動を分析し、拡散項の形式に依存する依存性を明らかにした。
• A. V. ザブロディンとG. P. プロコポフによる移動メッシュの構築と領域分割技術により、移動不連続性を伴う複雑なマルチスケール問題の解法が可能になった。
• メッシュ生成に伴い生じる楕円型系の理論的解析は、数値線形代数分野における進展をもたらし、行列ペンシルに対するスペクトル二分法基準の定式化に至った。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 なぜ第二階精度スキームは衝撃波近傍で安定解を生まなかったのか。その背後にある物理的または数学的原理は何か。
• RQ2 有限差分スキームに由来する数値的粘性は物理的拡散とどのように関係するか。また、双曲型保存則の一般化解（エントロピーを満たす解）を近似するために利用可能か。
• RQ3 同一の双曲型系に対して、異なる数値スキームが異なる解を生じる可能性はどの程度か。粘性がゼロに近づく極限における解の一意性は、何によって決定されるか。
• RQ4 不連続流とエントロピー条件の文脈において、一般化解の構造をどのように厳密に定義し、正当化できるか。
• RQ5 物理的直観と実験的物理学者からの批判的フィードバックは、数値アルゴリズムとその理論的基盤を洗練するために、どのような役割を果たしたか。

主な発見

• 正確なRiemannソルバーと保存的フラックスを用いた一次精度ゴドノフスキームは、衝撃捕捉において強固で安定しており、物理的でない振動を生じる第二階精度スキームを上回った。
• 有限差分スキームに由来する数値的粘性は、微小な人工的拡散を導入することに等しいが、その結果得られる解は、粘性がゼロに近づく極限に依存するだけでなく、拡散項の形式にも依存することが示された。
• B. F. ディアチェンコが構築した例は、同一の双曲型系に対し、異なる数値スキームが異なる解を生じることを示し、極限解がスキームに依存しないという仮定を否定した。
• 移動波解の使用により、エントロピーを満たす不連続解を生成するのは特定の形式の粘性に限られることを明らかにした。これにより、数値スキームと熱力学的原理との間の関係が確立された。
• 移動メッシュと領域分割技術の開発により、移動する波面と複数の不連続性を伴う複雑な流れのシミュレーションが可能になり、この手法の適用範囲が拡大した。
• メッシュ生成に関する理論的考察は、スペクトル二分法基準の定式化と、特異ベクトルの高精度計算アルゴリズムの開発に至り、数値線形代数分野に広範な影響を与えた。