[論文レビュー] Removability of a codimension four singular set for solutions of a yang mills higgs equation with small energy

Penny Smith, Karen Uhlenbeck|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2018

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、エネルギーが小さい条件下で、Yang-Mills-Higgs方程式の解に対するcodimension fourの特異集合の除去可能性を、最大原理の新手法を用いて示す。曲率およびヒッグス場の共変微分に対するMorrey空間の境界を導出する。主な結果は、このような解が特異集合上への拡張に関して滑らかにゲージ同値であることを示しており、Coulombゲージに依存せず、TaoとTianによる既存の証明を簡略化する。

ABSTRACT

We develop a new method for proving regularity for small energy stationary solutions of coupled gauge field equations. Our results duplicate those of Tian--Tao [7] for the pure Yang Mills equations, but our proof is simpler, and obtains bounded curvature without the use of Coulomb gauges. It relies instead on the Weitzenblock formulae, and an improved Kato inequality.

研究の動機と目的

• Hausdorff余次元4の特異集合がYang-Mills-Higgs方程式の解において滑らかに除去可能であることを確立すること。
• 指数ゲージおよびCoulombゲージの構成を用いない、Tao-Tianの除去結果に対する新しい証明を提供すること。
• 曲率およびヒッグス場の共変微分の小エネルギーと小Morreyノルムが、特異集合上での滑らかな拡張可能性を示すこと。
• 高次元における結合ゲージ場方程式の静的解の正則性結果を拡張すること。
• 有界なヒッグス場を伴う、広範なクラスのYang-Mills-Higgs方程式に適用可能な手法を開発すること。

提案手法

• 方程式を平均化することで微分不等式を導出し、それを最大原理を用いて解析する。
• Weitzenböck公式および改良されたKato不等式を用いて、Morrey空間における曲率推定を得る。
• 方程式 $ d^*(g^{-1}dg + g^{-1}Ag) = s $ を解くことによりゲージ変換を適用し、$ d^* ilde{A} = 0 $ を達成することで、$ L^p $ での有界性を保証する。
• 局所的な特異点近傍の挙動を解析するため、スケーリングおよびブロー・アップ技術を用い、Morrey空間ノルムを保存する。
• 径数積分および最適な指数を用いたHölderの不等式を用いて、曲率 $ F_A $ に対して接続 $ A $ の $ L^p $ 界を確立する。
• ゲージ固定後の $ ilde{A} $ に対して内部楕円型正則性を適用し、$ ilde{A} otin L^p_1 $ を結論づけ、より高い正則性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Yang-Mills-Higgs解における余次元4の特異集合がどのような条件下で滑らかに除去可能か。
• RQ2 Coulombゲージの構成に依存せずに、そのような特異点の除去可能性を証明できるか。
• RQ3 方程式から直接的に曲率およびヒッグス場の共変微分のMorrey空間ノルムを導出可能か。
• RQ4 解における小エネルギーとMorrey空間における曲率の小正則性の関係は何か。
• RQ5 この手法は、純粋なYang-Millsの場合を越えて、他の結合ゲージ場方程式へ一般化可能か。

主な発見

• 曲率がMorrey空間 $ L^{p,n-4} $ で小さく、ヒッグス場の共変微分も同様の空間で小さいならば、解は特異集合上への拡張に関して滑らかにゲージ同値である。
• 主結果（補題4）は、曲率および $ D_A ilde{ ho} $ のMorreyノルムが小さい条件下で、余次元4の特異点が除去可能であることを確立する。
• 小エネルギーの静的解において、Morrey空間における曲率の小正則性を確認でき、これは補題4の系として定理11が得られる。
• 証明はCoulombゲージを用いず、方程式を平均化して得た微分不等式に対して最大原理を適用する。
• この手法により、特異集合が存在する場合でも、ゲージ変換後の曲率が有界であり、接続 $ A $ が $ L^p_1 $ 正則性を示す。
• 余次元条件およびコンパクトな構造群のおかげで、ゲージ変換が特異集合上に滑らかに拡張されることを保証する。