[論文レビュー] Renormalisation des theories de champs non commutatives

Fabien Vignes-Tourneret|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、非可換量子場の理論の再規格化可能性を、Grosse-Wulkenhaar法を一般化することで確立する。位置空間における振動に基づく発散数え上げ法を導入し、可換性が主要な基準であることを特定する。非可換Gross-Neveu模型は、伝播関数の修正なしに再規格化可能であることが証明されるが、$Φ^4_4$模型ではそれが必要である。多スケール解析を行列基底および双対グラフ位相に適応させた。

ABSTRACT

Very high energy physics needs a coherent description of the four fundamental forces. Non-commutative geometry is a promising mathematical framework which already allowed to unify the general relativity and the standard model, at the classical level, thanks to the spectral action principle. Quantum field theories on non-commutative spaces is a first step towards the quantification of such a model. These theories can't be obtained simply by writing usual field theory on non-commutative spaces. Such attempts exhibit indeed a new type of divergencies, called ultraviolet/infrared mixing, which prevents renormalisability. H. Grosse and R. Wulkenhaar showed, with an example, that a modification of the propagator may restore renormalisability. This thesis aims at studying the generalization of such a method. We studied two different models which allowed to specify certain aspects of non-commutative field theory. In x space, the major technical difficulty is due to oscillations in the interaction part. We generalized the results of T. Filk in order to exploit such oscillations at best. We were then able to distinguish between two mixings, renormalizable or not. We also bring the notion of orientability to light : the orientable non-commutative Gross-Neveu model is renormalizable without any modification of its propagator. The adaptation of multi-scale analysis to the matrix basis emphasized the importance of dual graphs and represents a first step towards a formulation of field theory independent of the underlying space.

研究の動機と目的

• 非可換場理論の再規格化に、Grosse-Wulkenhaar法を$Φ^4_4$模型を超えて一般化すること。
• 標準的な非可換理論では再規格化不可能となるUV/IR混合問題に対処すること。
• 発散の制御を改善し、発散数え上げ法を向上させるために、位置空間における振動的相互作用を利用する位置空間的アプローチを開発すること。
• 伝播関数の修正なしに再規格化可能であることを可能にする構造的条件としての可換性を特定すること。
• 非可換場理論の行列基底への多スケール解析を適応させ、双対グラフが位相的発散数え上げに果たす役割を強調すること。

提案手法

• T. Filkの発散数え上げ技法を一般化し、位置空間における振動的相互作用を活用することで、発散の制御を向上させた。
• Moyal空間の行列基底に多スケール解析を適用し、双対グラフを用いて位相的複雑さと収束性を追跡した。
• フェルミオン図の構造と収束性を分析するために、双対伝播関数表現を導入した。
• 面構造とリボングラフ位相に基づく修正された発散数え上げスキームを用い、発散度を評価した。
• 森林公式と補正項の割り当てを用いて、$Φ^4_4$および非可換Gross-Neveu模型の両方で発散を体系的に除去した。
• 頂点の順序付けと面構造を用いて可換性を定義し、双対グラフにおける可換・非可換相互作用の区別をした。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換$ț^4$上での$Φ^4_4$模型の再規格化に用いられるGrosse-Wulkenhaar法を、他の非可換場理論へ一般化できるか？
• RQ2 位置空間における非可換場理論の再規格化において、振動的相互作用が果たす役割は何か？
• RQ3 伝播関数の修正なしに再規格化可能であるような構造的条件（例：可換性）が存在するか？
• RQ4 リボングラフの双対グラフ構造が、非可換フェルミオン図の発散数え上げと収束性にどのように影響するか？
• RQ5 非可換場理論の行列基底形式に多スケール解析を効果的に適応できるか？

主な発見

• 非可換Gross-Neveu模型は、可換性が保証される限り、伝播関数の修正なしに再規格化可能である。
• 可換性により、非可換面構造を避けるために頂点を順序付け可能となり、再規格化不可能な発散を回避できる。
• $Φ^4_4$模型では、伝播関数の修正なしにUV/IR混合が持続するため、再規格化可能にするためにGrosse-Wulkenhaarの修正が必要となる。
• 行列基底における双対グラフ構造は、収束性が面の数とリボングラフの位相に依存することを明らかにした。
• 行列基底における多スケール解析により、発散部分図を明確に分離し、森林公式を用いて補正項を割り当てることができ、有限性が証明された。
• 非可換相互作用の振動的性質を活用することで、特定の図において発散度を低下させ、発散数え上げを改善できる。