[論文レビュー] Renormalization group for Anderson localization on high-dimensional lattices

B. L. Altshuler, V. E. Kravtsov+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2024

Random Matrices and Applications被引用数 5

ひとこと要約

本研究は、ディメンション間でのアンダーソン局在に対する再正規化群（renormalization-group）フレームワークを構築し、2D ε-展開の結果を無限次元リミットへ fractal dimension D1 のベータ関数を介して接続し、無関連補正とMany-Body Localizationへの含意を分析する。

ABSTRACT

We discuss the dependence of the critical properties of the Anderson model on the dimension $d$ in the language of $β$-function and renormalization group recently introduced in Ref.[arXiv:2306.14965] in the context of Anderson transition on random regular graphs. We show how in the delocalized region, including the transition point, the one-parameter scaling part of the $β$-function for the fractal dimension $D_{1}$ evolves smoothly from its $d=2$ form, in which $β_2\leq 0$, to its $β_\infty\geq 0$ form, which is represented by the regular random graph (RRG) result. We show how the $ε=d-2$ expansion and the $1/d$ expansion around the RRG result can be reconciled and how the initial part of a renormalization group trajectory governed by the irrelevant exponent $y$ depends on dimensionality. We also show how the irrelevant exponent emerges out of the high-gradient terms of expansion in the nonlinear sigma-model and put forward a conjecture about a lower bound for the fractal dimension. The framework introduced here may serve as a basis for investigations of disordered many-body systems and of more general non-equilibrium quantum systems.

研究の動機と目的

• アンダーソン局在の性質が空間次元にどのように依存するか、そして厳密に無限大リミットをどのように取るかを理解する動機づけ。
• 固有関数シャノンエントロピーから導かれる fractal dimension D1 を用いた1-パラメータスケーリング記述の導入。
• 低次元の解析的扱いと高次元/expander-グラフの極限を橋渡しして、無秩序系を照らす。
• Many-Body Localization および非平衡量子系の数値データに適用可能な定量的枠組みを提供する。

提案手法

• fractal dimension のベータ関数を定義する： beta(D)=d ln D / d ln N，そして RG 軌跡としてその包絡線を研究する。
• 平均固有関数シャノンエントロピー S(L) の ln N に対する導関数から D(L) を計算する。
• 1-parameter スケーリングを用いて RG 軌跡を解釈し、数値データから Dc、alpha_c、nu を抽出する。
• 局在場の理論における高次勾配項に起因する有限サイズスケーリングと無関連指数 y の解析。
• 臨界近傍でのベータ関数を非線形シグマモデルの ε-展開結果と関連づけ、RRG リミットと比較する。

Figure 1: Renormalization group (RG) trajectories (solid lines) for $3d$ Anderson model obtained from the numerical calculation of the eigenfunction Shannon entropy $S(L)$ and the corresponding finite-size fractal dimension $D(L)=dS(L)/d\ln N$ . The envelope of RG trajectories (black dots) is the si

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 d を変化させたとき、 fractal dimension D1 は再正規化群スケーリングの下でどのように流れるか？
• RQ2 1-パラメータスケーリングの beta-関数は、d=2,3,4,5,6 にわたるアンダーソン転移を捉え、RRG/無限-d リミットへ近づくことができるか？
• RQ3 有限サイズの軌跡における無関連補正（指数 y）の役割は何か、そしてそれらは d によってどのように進化するか？
• RQ4 d=2 周辺の ε-展開結果は、高次元で D1 から導かれた数値的 beta-関数とどのように関連するか？
• RQ5 この枠組みが Many-Body Localization および関連する非平衡量子系に与える含意は何か？

主な発見

• fractal dimension のベータ関数は、非局在領域および転移点で d=2 の形から RRG/無限-d の形へ滑らかに発展する。
• 無関連指数は RG 軌跡の初期部分を支配し、次元が大きくなるにつれてより顕著になり、高次元での流れが修正されることを示唆する。
• 臨界 fractal dimension Dc は d→∞ に向かって消失し、有限な d に対しては 1/d の有限関数によって下界が規定される。expander グラフ上での二つの局在レジーム像を支持する。
• d=2 付近では D=1 の近傍でのベータ関数が ε-展開の予測と一致し、D=1 で有限な傾き alpha1、臨界点で有限な alpha_c を与え、摂動領域で対称性関係が出てくる。
• 単一パラメータの beta 曲線から Dc、alpha_c、nu を数値的に抽出すると、いくつかの次元で nu が半古典的自己無矛盾理論の予測に近い値を示す一方、より高次で VW 理論を挑戦するような偏差が現れる。

Figure 2: A sketch of the full $\beta$ -function. (Upper panel) Behavior at finite dimension, where $0<D_{c}<1$ and the irrelevant direction at finite size becomes increasingly important as $d$ grows. (Lower panel) Behavior on expander graphs (as the RRG), where, near the critical value of $W$ , the