[論文レビュー] Renormalization theory for multimodal maps

Daniel Smania|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、複数の臨界点を持つ滑らかな区間写像（マルチモーダル写像）のレノルマリゼーション理論の基礎を確立する。同定理は、組み合わせ的型が有界な無限再帰的写像に対して、レノルマリゼーション作用素の指数的収束を証明する。クアシコンフォーマル力学、多項式的写像、双曲的理論の道具を用いて、このような写像が一意的なモデル写像にハイブリッド共役であることを示し、パrameter空間におけるカントール集合構造を導く。

ABSTRACT

We study the dynamics of the renormalization operator for multimodal maps. In particular, we prove the exponential convergence of this operator for infinitely renormalizable maps with same bounded combinatorial type.

研究の動機と目的

• ユニモーダルおよびバイモーダル写像の枠組みを拡張し、マルチモーダル写像の包括的なレノルマリゼーション理論を構築すること。
• 複数のユニモーダル成分からなる写像の文脈において、レノルマリゼーション作用素の力学を分析すること。
• 組み合わせ的型が有界な無限再帰的写像に対して、レノルマリゼーション極限の存在と一意性を確立すること。
• 組み合わせ的型が定数 $ C $ で有界な型 $ n $ の無限再帰的実多項式の集合が、パrameter空間においてカントール集合をなすことの証明。
• McMullenのタワー理論およびダイナミカルな不変性の理論をマルチモーダル設定に拡張し、剛性と収束を保証すること。

提案手法

• 型 $ n $ のマルチモーダル写像を、各々が1つの臨界点を持ち、ネスト条件を満たす $ n $ 個のユニモーダル写像の合成として定義する。
• 周期的挙動と制限区間を分析するため、区間の $ n $ 個の非交差コピーの直和上に拡張写像 $ F $ を導入する。
• 制限区間で最小周期 $ k > n $ の $ F $ の $ k $ 回繰り返し写像の共役としてレノルマリゼーション $ R(f) $ を定義し、新たな型 $ n $ のマルチモーダル写像を得る。
• クアシコンフォーマル変形技術と $ M $-均一領域を用いて歪みを制御し、レノルマリゼーション過程における一様性を保証する。
• 多項式的写像の理論とハイブリッド共役を応用し、レノルマリゼーションされた写像を二次多項式の合成と関連付ける。
• 「至る所小さなジュリア集合」定理とダイナミカルな不変性を活用して、レノルマリゼーション作用素の指数的収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 組み合わせ的型が有界な無限再帰的マルチモーダル写像に対して、レノルマリゼーション作用素が収束する条件は何か？
• RQ2 マルチモーダル写像の組み合わせ的型を体系的に定義・合成する方法は何か？ また、どのような族が任意の与えられた型を実現するか？
• RQ3 組み合わせ的型が定数で有界な型 $ n $ の無限再帰的実多項式の集合の構造は何か？
• RQ4 型 $ n $ の多項式的写像が、二次多項式の合成へハイブリッド共役をもつのはどの程度まで可能か？
• RQ5 McMullenのタワー理論とダイナミカルな不変性を用いて、マルチモーダル設定においてレノルマリゼーション作用素の指数的収束を確立できるか？

主な発見

• 組み合わせ的型が有界な無限再帰的マルチモーダル写像の型 $ n $ に対して、レノルマリゼーション作用素は指数的に収束する。
• 組み合わせ的型が定数 $ C $ で有界な型 $ n $ の無限再帰的実多項式は、パrameter空間においてカントール集合をなす。
• 任意の型 $ n $ の多項式的写像は、二次多項式の合成へハイブリッド共役である。これにより、構造的分類が確立される。
• 組み合わせ的型が有界な無限再帰的多項式的写像に対して、「至る所小さなジュリア集合」定理が成り立ち、ジュリア集合上に非自明なベルトラミ微分が支持されないことを示す。
• レノルマリゼーションプロセスは、ユニモーダル成分への分解の選び方に依存せず、一意に定まる。
• 歪みの制御は $ M $-均一領域とコーエーベ型推定を用いて達成され、レノルマリゼーション反復における一様性が保証される。