[論文レビュー] Reparametrizations of vector fields and their shift maps

Sergiy Maksymenko|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2009

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ベクトル場 $ F $ のフローの滑らかな再パrametrizationの像として定義されるシフト写像空間 $ Sh(F) $ が、任意の滑らかな正関数 $ \mu $ による再パラメータライゼーションに関して不変であることを確立する。主な結果は、$ F $ が円型作用を生成できるのは、$ \mathbf{F}(x, \mu(x)) \equiv x $、すなわち各軌道に沿って時間 $ \mu(x) $ 経過すると元の点に戻るような滑らかな正関数 $ \mu $ が存在する場合に限ることである。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth manifold, $F$ be a smooth vector field on $M$, and $F_t$ be the local flow of $F$. Denote by $Sh(F)$ the space of smooth maps $h:M o M$ of the following form: $h(x) = F_{f(x)}(x)$, where $f:M o\mathbb{R}$ runs over all smooth functions on $M$ which can be substituted into the flow $F_t$ instead of time. This space often coincides with the identity component of the group of diffeomorphisms preserving orbits of $F$. In this note it is shown that $Sh(F)$ is not changed under reparametrizations and pushforwards of $F$. As an application it is proved that a vector field $F$ without non-closed orbits can be reparametrized to induce a circle action on $M$ if and only if there exists a smooth function $f:M o (0,+\infty)$ such that for each non-singular point $x$ of $M$, the value $f(x)$ is an integer multiple of the period of $x$ with respect to $F$.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体 $ M $ 上の滑らかなベクトル場 $ F $ の再パラメータライゼーションに関して、シフト写像空間 $ Sh(F) $ の不変性を調査すること。
• 多様体 $ M $ 上で滑らかな円型作用を生成できるように、ベクトル場 $ F $ がどのように再パラメータライズ可能かを特徴づけること。
• フローが初期点に戻るまでの時間を保証する滑らかな正関数 $ \mu $ を通じた位相的および力学的条件を確立すること。
• 特に周期性および微分同相写像性の観点から、$ F $ のシフト写像 $ \varphi $、その再パラメータライズド版 $ \mu F $、およびそれらが誘導する力学的性質の関係を明確にすること。

提案手法

• 写像 $ \varphi: \mathsf{func}(F) \to C^\infty(M,M) $ を $ \varphi(\alpha)(x) = \mathbf{F}(x, \alpha(x)) $ で定義し、その像を $ Sh(F) $ とする。
• フローの再パラメータライゼーション公式 $ \mathbf{G}(x,s) = \mathbf{F}(x, \alpha(x,s)) $ を用い、$ \alpha(x,s) = \int_0^s \mu(\mathbf{G}(x,\tau)) d\tau $ とすることで、$ F $ と $ \mu F $ のフローを関連付ける。
• 任意の滑らかな正の関数 $ \mu $ に対して $ Sh(\mu F) = Sh(F) $ が成り立つことを証明し、再パラメータライゼーションにおけるシフト写像空間の不変性を示す。
• ベクトル場 $ F $ のシフト写像 $ \varphi $ が周期関数 $ \theta $ を持つことは、すべての $ x \in M $ に対して $ \mathbf{F}(x, \theta(x)) \equiv x $ が成り立つことと同値であることを示し、周期性と帰還時間関数の存在を結びつける。
• $ \mu F $ のフローを用いて、逆の再パラメータライゼーション写像 $ \xi: \mathsf{func}(G) \to \mathsf{func}(F) $ を $ \xi(\gamma)(x) = \int_0^{\gamma(x)} \mu(\mathbf{G}(x,\tau)) d\tau $ で定義する。
• 円型作用の理論を適用し、$ G = \mu F $ に対して $ \mathbf{G}(x,1) \equiv x $ が成り立つことは、$ \mathbf{F}(x, \mu(x)) \equiv x $ が成り立つことと同値であることを示し、円型作用を誘導するための必要十分条件を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル場 $ F $ が滑らかな正関数 $ \mu $ で再パラメータライズされた場合、シフト写像空間 $ Sh(F) $ は不変のままであるか？
• RQ2 どのような条件下で、ベクトル場 $ F $ を再パラメータライズして $ M $ 上に滑らかな円型作用を誘導できるか？
• RQ3 シフト写像の周期関数と再パラメータライズ関数 $ \mu $ の間の正確な関係は何か？
• RQ4 再パラメータライゼーションにおける $ Sh(F) $ の不変性は、シフト写像の位相的性質（例えば開性や局所単射性）にどのように影響を与えるか？

主な発見

• シフト写像空間 $ Sh(F) $ は再パラメータライゼーションに関して不変である：任意の滑らかな正関数 $ \mu: M \to (0,\infty) $ に対して $ Sh(\mu F) = Sh(F) $ が成り立つ。
• ベクトル場 $ F $ のシフト写像 $ \varphi $ が周期関数 $ \theta $ を持つことは、すべての $ x \in M $ に対して $ \mathbf{F}(x, \theta(x)) \equiv x $ が成り立つことと同値である。
• ベクトル場 $ F $ が滑らかな正関数 $ \mu $ を用いて再パラメータライズ可能で、$ \mathbf{F}(x, \mu(x)) \equiv x $ が成り立つとき、かつそのときに限り、$ F $ は滑らかな円型作用を誘導できる。
• 関数 $ \mu $ が $ F $ の軌道に沿って定数であれば、再パラメータライズドフロー $ \mu F $ の周期関数は $ \bar{\theta}(x) = \theta(x)/\mu(x) $ で与えられる。
• シフト写像 $ \varphi $ が $ \mathsf{S}^{r,s} $-開であることは、$ \mu F $ のシフト写像が $ \mathsf{S}^{r,s} $-開であることと同値であり、これは $ Sh(F) $ の不変性に起因する。
• 点 $ z $ が $ F $ の特異点であるとき、$ F $ の線形化は、$ \sum_{i=1}^k (-A_i y_i \partial_{x_i} + A_i x_i \partial_{y_i}) $ の形をとり、局所正規形において $ k $ 個の楕円的方向が存在することを反映している。