[論文レビュー] Repetitive Delone Sets and Quasicrystals

J. C. Lagarias, P. A. B. Pleasants|ArXiv.org|Sep 6, 1999

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 42被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、クオージクリスタル内の準周期的構造をモデル化する枠組みとして、繰り返しのあるデローネ集合を導入し、すべてのT-パッチを発見するのに必要な半径を制限する関数M(T)を用いて繰り返し性を定義する。線形繰り返し集合（M(T) = O(T)）は厳密な均一パッチ周波数を有し、回折性を示すことを証明し、『完全に秩序のあるクオージクリスタル』として提唱する——周期的でない最小のクラスであり、高い秩序と測定可能な複雑さを有する。

ABSTRACT

This paper considers the problem of characterizing the simplest discrete point sets that are aperiodic, using invariants based on topological dynamics. A Delone set whose patch-counting function N(T), for radius T, is finite for all T is called repetitive if there is a function M(T) such that every ball of radius M(T)+T contains a copy of each kind of patch of radius T that occurs in the set. This is equivalent to the minimality of an associated topological dynamical system with R^n-action. There is a lower bound for M(T) in terms of N(T), namely N(T) = O(M(T)^n), but no general upper bound. The complexity of a repetitive Delone set can be measured by the growth rate of its repetitivity function M(T). For example, M(T) is bounded if and only if the set is a crystal. A set is called is linearly repetitive if M(T) = O(T) and densely repetitive if M(T) = O(N(T))^{1/n}). We show that linearly repetitive sets and densely repetitive sets have strict uniform patch frequencies, i.e. the associated topological dynamical system is strictly ergodic. It follows that such sets are diffractive. In the reverse direction, we construct a repetitive Delone set in R^n which has M(T) = O(T(log T)^{2/n}(log log log T)^{4/n}), but does not have uniform patch frequencies. Aperiodic linearly repetitive sets have many claims to be the simplest class of aperiodic sets, and we propose considering them as a notion of "perfectly ordered quasicrystal".

研究の動機と目的

• 位相的力学的不変性を用いて、最も単純な周期的でない離散的点集合を特徴づけること。
• T-パッチの出現密度を測る関数M(T)を用いて、デローヌ集合における繰り返し性を定義し、分析すること。
• 繰り返しのあるデローヌ集合が均一パッチ周波数を有し、回折性を示すための条件を確立すること。
• 線形繰り返し集合を、最小の周期的でない秩序を有する『完全に秩序のあるクオージクリスタル』の代表的クラスとして提唱すること。

提案手法

• 繰り返し関数M(T)を導入し、これは、集合に含まれるすべてのT-パッチを含むような半径M(T)+Tの球が、すべての半径M(T)の球に含まれる最小の半径であると定義する。
• 位相的力学を用いて、デローヌ集合のハルに於けるR^n作用の最小性が、繰り返し性と同値であることを示す。
• エルゴディック理論を適用し、線形繰り返し集合（M(T) = O(T)）が厳密にエルゴディックであることを証明し、均一パッチ周波数を意味することを示す。
• M(T) = O(T(log T)^{2/n}(log log log T)^{4/n}) であるが、均一パッチ周波数を欠く反例を構成する。
• パッチ数関数N(T)の漸近的解析とM(T)との関係に依拠し、N(T) = O(M(T)^n) がすべての繰り返しのあるデローヌ集合に共通して成り立つ基本的境界とみなす。
• 厳密な均一パッチ周波数の概念を用いて、力学系理論と物理的回折特性を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数M(T)にどのような条件が満たされると、デローヌ集合において均一パッチ周波数が保証されるか？
• RQ2 均一に繰り返しのない繰り返しのあるデローヌ集合は存在可能か？その場合、M(T)の成長はどの程度複雑になり得るか？
• RQ3 最大の秩序を示しながらも周期的でない自然な周期的でない集合のクラスは存在するか？
• RQ4 M(T)の成長率は、集合の回折特性とどのように関係するか？
• RQ5 長距離秩序を保持しつつ、周期的でないデローヌ集合の最小の複雑さのクラスは何か？

主な発見

• 線形繰り返し集合（M(T) = O(T)）は、厳密な均一パッチ周波数を有し、関連する力学系は厳密にエルゴディックであることを示す。
• 密度の高い繰り返し集合（M(T) = O(N(T))^{1/n}）も、厳密な均一パッチ周波数を有し、したがって回折性を示す。
• すべての繰り返しのあるデローヌ集合に対して、N(T) = O(M(T)^n) が成り立つという境界が普遍的に成立し、パッチの複雑さと繰り返し性の基本的関係を確立する。
• M(T) = O(T(log T)^{2/n}(log log log T)^{4/n}) であるが、均一パッチ周波数を欠く繰り返しのあるデローヌ集合が存在することを示し、線形繰り返し性が繰り返し性に必須ではないことを示す。
• 高い秩序と最小の周期的でない性質を併せ持つことから、線形繰り返し集合のクラスは『完全に秩序のあるクオージクリスタル』の自然なモデルとして提唱される。
• 本稿は、デローヌ集合の文脈において、厳密なエルゴディシティ（そしてしたがって回折性）が線形繰り返し性と同値であることを確立する。