[論文レビュー] Repetitive resolutions over classical orders and finite dimensional algebras

K. R. Goodearl, Birge Huisgen-Zimmermann|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2014

Rings, Modules, and Algebras参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、アーティン環および有限次元代数における有限的次元を評価するための新しい不変量として、繰り返しインデックスとシジージ型を導入する。有限次元代数 $\Omega = \mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$ に対して、$\mathcal{O}$ が離散付値環上の古典的順序であるとき、$\operatorname{gl.dim.}\mathcal{O} = d < \infty$ ならば、$\Omega$ のグローバル繰り返しインデックスは $d-1$ であり、すべての有限生成 $\Omega$-加群は有限シジージ型をもつことを証明する。

ABSTRACT

Repetitiveness in projective and injective resolutions and its influence on homological dimensions are studied. Some variations on the theme of repetitiveness are introduced, and it is shown that the corresponding invariants lead to very good -- and quite accessible -- upper bounds on various finitistic dimensions in terms of individual modules. These invariants are the `repetition index' and the `syzygy type' of a module $M$ over an artinian ring $Λ$. The repetition index measures the degree of repetitiveness among non-projective direct summands of the syzygies of $M$, while the syzygy type of $M$ measures the number of indecomposable modules among direct summands of the syzygies of $M$. It is proved that if $T$ is a right $Λ$-module which contains an isomorphic copy of $Λ/J(Λ)$, then the left big finitistic dimension of $Λ$ is bounded above by the repetition index of $T$, which in turn is bounded above by the syzygy type of $T$. The finite dimensional $K$-algebras $Λ= {\cal O}/π{\cal O}$, where $\cal O$ is a classical order over a discrete valuation ring $D$ with uniformizing parameter $π$ and residue class field $K$, are investigated. It is proved that, if $ ext{gl.dim.}\, {\cal O} =d

研究の動機と目的

• 射影的および単純的分解における繰り返し行動を捉える新しいホモロジー的不変量（繰り返しインデックスとシジージ型）を考案すること。
• 特に古典的順序から生じる有限次元代数に対して、これらの不変量を用いて有限的次元の上界を確立すること。
• アーティン環 $\Lambda$ に対して、$\operatorname{gl.dim.}\mathcal{O} = d < \infty$ ならば、$\Omega = \mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$ のグローバル繰り返しインデックスは $d-1$ であり、すべての有限生成 $\Omega$-加群が有限シジージ型をもつことを示すこと。
• 古典的順序 $\mathcal{O}$ のホモロジー的性質が、$\Omega = \mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$ というより単純な代数を介して研究可能であることを示すこと、特に $\mathcal{O}$ が無限大のグローバル次元をもつが $\Omega$ がゴレンシュタインであるような場合に有効である。

提案手法

• アーティン環 $\Lambda$ 上の $\Lambda$-加群 $M$ のシジージの非射影的直接和成分の繰り返しの度合いを測る量として、繰り返しインデックス $\operatorname{rep}(M)$ を定義する。
• 加群 $M$ のシジージの直接和成分に含まれる極小加群の数として、$M$ のシジージ型を定義する。これは「最終的に閉じた分解」の概念を一般化する。
• 右 $\Lambda$-加群 $T$ が $\Lambda/J(\Lambda)$ のコピーを含むとき、$\Lambda$ の左大有限的次元が $\operatorname{rep}(T)$ によって上から抑えられ、さらに $\operatorname{rep}(T)$ が $T$ のシジージ型によって上から抑えられることを証明する。
• $\mathcal{O}$ が離散付値環 $D$ 上の古典的順序で、$\pi$ をその正規化パラメータとするとき、有限次元 $K$-代数 $\Lambda = \mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$ のクラスを分析する。
• $\mathcal{O}$ の構造と $\Lambda$ との関係を用いて、$\operatorname{gl.dim.}\mathcal{O} = d < \infty$ ならば $\operatorname{l\,gl\,rep}\Lambda = d - 1$ であることを導出する。
• 具体的な例を構成し、$\mathcal{O}$ から $\Lambda$ へのホモロジー的データの伝達を図示する。特に、$\mathcal{O}$ が無限大のグローバル次元をもつが $\Lambda$ がゴレンシュタインであるような場合も含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的および単純的分解における繰り返しパターンは、どのようにして有限的次元を評価するための指標として定量化できるか？
• RQ2 アーティン環上の加群の繰り返しインデックスとシジージ型の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 $\Lambda = \mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$ のグローバル繰り返しインデックスが有限となる条件は何か？また、$\mathcal{O}$ のグローバル次元とどのように関係するか？
• RQ4 古典的順序 $\mathcal{O}$ のホモロジー的不変量は、商代数 $\Lambda = \mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$ を介して効果的に研究可能か？
• RQ5 $\mathcal{O}$ が無限大のグローバル次元をもつが $\Lambda = \mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$ がゴレンシュタインである場合、有限的次元およびグローバル次元はどのように変化するか？

主な発見

• $\Lambda$ がアーティン環であるとき、$\Lambda/J(\Lambda)$ のコピーを含む任意の右 $\Lambda$-加群 $T$ に対して、$\Lambda$ の左大有限的次元は $\operatorname{rep}(T)$ によって上から抑えられる。
• $\operatorname{rep}(T)$ は $T$ のシジージ型によって上から抑えられるため、有限的次元に対する上界の鎖が確立される。
• $\mathcal{O}$ が離散付値環上にあり $\operatorname{gl.dim.}\mathcal{O} = d < \infty$ であるとき、代数 $\Lambda = \mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$ のグローバル繰り返しインデックスは $d - 1$ である。
• $\operatorname{gl.dim.}\mathcal{O} = d < \infty$ のとき、すべての有限生成 $\Lambda$-加群は有限シジージ型をもつ。これは、このような加群に対して「最終的に閉じた」射影的分解が存在することを意味する。
• $\mathcal{O}$ が無限大のグローバル次元をもつが $\Lambda = \mathcal{O}/\pi\mathcal{O}$ がゴレンシュタインであるような例が存在する。このような場合、$\mathcal{O}$ の左および右の有限的次元は等しい。
• 単純 $\Lambda$-加群 $\Lambda e_6 / J e_6$ の射影次元は 2 を超え、この加群に対して $\operatorname{p\,dim}_{\mathcal{O}} M > 2$ である。また、この加群の $\Lambda$-加群としての繰り返しインデックスは無限大である。