[論文レビュー] Reply to "Comment on Sochi's variational method for generalised Newtonian flow" by Pritchard and Corson

Taha Sochi|arXiv (Cornell University)|May 29, 2015

Rheology and Fluid Dynamics Studies参考文献 8被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、PritchardとCorsonによる批判に対し、Taha Sochiの一般化されたニュートン流体の円形管内流れに対する変分法を擁護する。変分形式は、全応力の最小化に基づくものであり、数学的に妥当で、力の法則に従う非粘塑的一般化ニュートン流体に限りならず、すべての非粘塑的一般化ニュートン流体に適用可能であると主張する。Euler-Lagrange方程式とDirichletの原理を再適用することで、基本方程式を再導出し、動力学的記述と同等であることを示し、本質的制限や自明性の主張を否定する。

ABSTRACT

In this article we challenge the claim that the previously proposed variational method to obtain flow solutions for generalized Newtonian fluids in circular tubes and plane slits is exact only for power law fluids. We also defend the theoretical foundation and formalism of the method which is based on minimizing the total stress through the application of the Euler-Lagrange principle.

研究の動機と目的

• PritchardとCorsonが変分法が力の法則に従う流体にしか正確でないとして批判しているのに対抗すること。
• 1次元流れ系における応力最小化に基づく変分原理の数学的・物理的正当性を確立すること。
• 変分形式（式8）が力の法則に従う流体に限定されず、非粘塑的一般化ニュートン流体に一般に適用可能であることを示すこと。
• 変分形式（Euler-Lagrange形式 vs. Dirichlet形式）の違いを明確にし、一方の失敗が原理全体を無効にしないことを主張すること。
• 式（1）における偏微分の使用が根本的な問題を生じさせないことを示し、適用文脈が一貫していれば問題ないことを説明すること。

提案手法

• 応力バランス式 dτ/dr = G を出発点として、Euler-Lagrange形式を用いて、基本方程式 d/dr(μ dγ/dr) = 0 を再導出する。
• 関数 f = μγ にEuler-Lagrange方程式を適用し、d/dr(γ dμ/dr) = 0 が得られ、これが元の形と数学的に同等であることを示す。
• 両形式（d/dr(γ dμ/dr) = 0 と d/dr(μ dγ/dr) = 0）が同等であることは、その和が定数であるためであり、これにより両者が系の振る舞いを独立に完全に記述できることを示す。
• 先行研究[2]で用いられたDirichletに基づく変分的アプローチを用い、多様な流れ則に適用可能な正確な数値解が得られることを示す。
• 一部の導出で生じる「自明な」結果（例：0=0）は、冗長な操作に起因するものであり、変分原理自体の欠陥ではないと主張する。
• 変分形式と動力学的記述が同等であることを確立し、両者が同じ物理系を表していることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変分形式 d/dr(μ dγ/dr) = 0 は、力の法則に従う流体に限定されるのではなく、すべての非粘塑的一般化ニュートン流体に有効であるか？
• RQ2 応力最小化に基づく変分原理は、Dirichletの原理や他の手法によって数学的に正当化可能か？
• RQ3 変分方程式における偏微分の使用は、その有効性を損なうものか、それとも表記上の問題にすぎないか？
• RQ4 数値的手法を要するにしても、変分法は複雑な流れ則に対し正確な解を生成可能か？
• RQ5 変分形式と動力学的記述の間の見かけ上の同等性は、数学的偶然にすぎないのか、それともより深い物理的一致性を示しているのか？

主な発見

• 変分形式 d/dr(μ dγ/dr) = 0 は、動力学的式 dτ/dr = G と数学的に同等であり、両者とも系の完全な動的挙動を表す。
• d/dr(γ dμ/dr) = 0 と d/dr(μ dγ/dr) = 0 の両形式が同等であるのは、その和が定数であるためであり、これにより両者が独立に系の振る舞いを完全に記述できることを保証する。
• この手法は力の法則に従う流体に限定されず、本論文では円形管および平板スリット内での9種類の異なる流れ則モデルに対してその有効性を示している。
• 式（1）における偏微分の使用は、適用文脈が一貫しており、方程式が正しく適用されていれば、根本的な欠陥ではない。
• 0 = 0 に至る導出は、有効ではあるが生産的でない数学的演算にすぎず、変分原理自体に不整合があるとは言えない。
• [2]で用いられたDirichletに基づく変分的アプローチは、Euler-Lagrange形式とは独立して、一般化ニュートン流体に対して正確な数値解を生成できる。