[論文レビュー] Report on Generic Case Complexity

Robert H. Gilman, Alexei Myasnikov+2 more|ArXiv.org|Jul 10, 2007

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、漸近的密度1を持つ入力の集合（「一般の」集合）に注目することで、計算の難易度を評価するフレームワークとして、一般ケース複雑性を導入する。これは、まれで特異なケースを無視するものである。一般の集合上で、停止問題、ポスト対応問題、3-SAT といった問題が、最悪ケースでは決定不能またはNP完全であるにもかかわらず、多項式時間で解けることを示しており、平均ケース複雑性よりも実用的で広範な測定手段を提供する。

ABSTRACT

This article is a short introduction to generic case complexity, which is a recently developed way of measuring the difficulty of a computational problem while ignoring atypical behavior on a small set of inputs. Generic case complexity applies to both recursively solvable and recursively unsolvable problems.

研究の動機と目的

• 最悪ケースや平均ケースの挙動ではなく、典型的な入力に注目する新しい複雑性測定として、一般ケース複雑性を提唱すること。
• 組合せ群論における決定不能な問題（たとえば、語問題や共役問題）が、一般の集合上で線形時間で解けることを示すこと。
• 一般ケース複雑性と平均ケース複雑性を比較し、その範囲の広さと、決定不能問題への直接的な適用可能性を強調すること。
• 一般多項式時間（GenP）と平均多項式時間（AvP）が互いに比較不能であるが、多くの平均ケース多項式関数が同時に一般多項式であることを確立すること。
• 今後の研究の基盤を提供することとして、一般ケース完全性および一般集合上での決定不能性に関する研究を築くこと。

提案手法

• 入力集合 I とその正の部分集合 L または関係 R を用いて、決定問題と探索問題を定義し、入力長を測る関数 σ: I → ℕ を導入する。
• 漸近的密度 ρ(S) = limₙ→∞ |S ∩ Iₙ| / |Iₙ| を導入し、密度が1である集合（一般の集合）を特定する。アルゴリズムの評価はこの集合上で行われる。
• 一般多項式時間（GenP）を、漸近的密度1の集合上で多項式時間で実行されるアルゴリズムとして形式化する。
• サイズ n の球 Bₙ 上に定義された球面分布 μₙ を用いて平均ケース複雑性を定義し、ある ε > 0 に対して ∫f^ε dμ < ∞ を満たす関数を、平均的に多項式的であると定義する。
• 一般ケースと平均ケース複雑性を比較し、AvP と GenP が比較不能である一方で、球面上で平均的に多項式的な関数は一般に多項式的であることを示す。
• あるアルゴリズムの期待時間がある球面分布の下で多項式で有界であれば、そのアルゴリズムは一般多項式時間で実行可能であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最悪ケースでは決定不能である計算問題であっても、一般の入力集合上で効率的に解ける可能性はあるか？
• RQ2 範囲、適用可能性、技術的要件の観点から、一般ケース複雑性は平均ケース複雑性とどのように比較できるか？
• RQ3 最悪ケースや平均ケース複雑性が非効率的であるにもかかわらず、一般多項式時間での解法が成り立つ自然な問題クラスは存在するか？
• RQ4 一般ケース複雑性の枠組みは、一般集合上で決定不能な問題へと拡張可能か？
• RQ5 平均的に多項式である関数と、一般に多項式である関数との関係は何か？

主な発見

• 有限生成群における語問題、共役問題、メンバーーシップ問題は、一般の入力集合上で線形時間で解けるが、一般には再帰的に解けない。
• 停止問題とポスト対応問題は、最悪ケースでは決定不能であるが、一般の集合上で多項式時間で解ける。
• 3-SAT（3-充足可能性問題）は、一般の入力集合上で多項式時間で解ける。これは、NP完全性が、通常のインスタンスでは効率的性能を妨げないことを示している。
• 一般ケース複雑性は、平均ケース複雑性よりも範囲が広く、より単純である。これは、決定可能・決定不能な両方の問題に適用可能であり、大多数の入力に対する性能を直接測定できる。
• AvP（平均多項式時間）に属するがGenP（一般多項式時間）に属さない関数と、逆にGenPに属するがAvPに属さない関数が存在する。これにより、AvP と GenP が比較不能な複雑性クラスであることが示された。
• ある関数 f が球面分布に関して平均的に多項式的であれば、それは一般に多項式的である。これは、両フレームワーク間の重要な重なりを確立する。