[論文レビュー] Representation of squares by monic second degree polynomials in the field of $p$-adic meromorphic functions

Héctor Pastén|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Meromorphic and Entire Functions参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$p$-進整型関数の分野における Büchi の $n$-平方問題に対して正の解を確立する。$p$-進 Nevanlinna 理論と Vojta の予想を用いて、一定の2階差分2を持つ $M$ 個の平方数の列が連続する整数の平方から生じることを証明する。この結果は、Büchi 語彙における $p$-進整型関数および整関数の正の存在的理論の決定不能性を示す。

ABSTRACT

We prove a result on the representation of squares by second degree polynomials in the field of $p$-adic meromorphic functions in order to solve positively Büchi's $n$ squares problem in this field (that is, the problem of the existence of a constant $M$ such that any sequence $(x_n^2)$ of $M$ - not all constant - squares whose second difference is the constant sequence $(2)$ satisfies $x_n^2=(x+n)^2$ for some $x$). We prove (based on works by Vojta) an analogous result for function fields of characteristic zero, and under a Conjecture by Bombieri, an analogous result for number fields. Using an argument by Büchi, we show how the obtained results improve some theorems about undecidability for the field of $p$-adic meromorphic functions and the ring of $p$-adic entire functions.

研究の動機と目的

• $p$-進整型関数の分野における Büchi の $n$-平方問題を解決し、2階差分が2である $M$ 個の平方数の列が連続する平方数から生じることを示す。
• 幾何学的および算術的技法を用いて、特性0の関数体およびBombieriの予想のもとで数体へと結果を拡張する。
• 解を用いて、環の言語に平方述語を追加した Büchi 語彙における $p$-進整型関数および整関数の決定不能性結果を強化する。
• $p$-進整型関数体におけるモニック2次多項式による平方の表現定理を確立し、このような多項式が自明であるか、有限な例外集合に属することを示す。

提案手法

• $p$-進 Nevanlinna 理論を用いて、特に2階差分における平方の挙動に注目し、整型関数の成長および値分布を分析する。
• 一般型の代数的多様体上の有理点の分布に関する Vojta の予想を適用し、関数体におけるディオファントス方程式の解の数を制御する。
• リーマン・ホイットニーの公式および genus の上限を用いて、代数的表面における低 genus の曲線が自明な直線でなければならないことを示し、解の線形構造を示す。
• Büchi 語彙 $\mathcal{L}_2 = \{0,1,+ , P_2\}$ における論理式を構成し、2階差分が一定の平方数の列を用いて、平方および乗法を定義する。
• 問題を、$M$ 個の点で $P(a_i) = h_i^2$ を満たす非自明な解が、射影的表面 $X_M$ 上の自明な直線に沿って存在するように還元する。これにより、$P$ が関数体において平方であるか、有限な例外集合に属することを示す。
• $P$ がモニック2次であり、$M \geq 8$ 個の異なる $a_i$ に対して $P(a_i)$ が平方であるならば、$P$ は関数体において平方であるか、有限な例外集合 $E$ に属することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階差分が2である $p$-進整型関数体における $M$ 個の平方数の列が連続する平方数であるような定数 $M$ が存在するか？
• RQ2 幾何学的および算術的制約のもとで、特性0の関数体における Büchi 問題を解決できるか？
• RQ3 一般型の多様体に関する Bombieri の予想のもとで、数体において Büchi 問題が成り立つか？
• RQ4 $p$-進整型関数における Büchi 問題の正の解を用いて、Büchi 語彙における正の存在的理論の決定不能性を証明できるか？
• RQ5 関数体における $M$ 個の異なる点 $a_i$ に対して $P(a_i)$ が平方であるようなモニック2次多項式 $P$ の構造はいかなるものか？

主な発見

• $p$-進整型関数体において、Büchi の $n$-平方問題は正の解を有する：2階差分が2である $M=8$ 個の平方数の列は、すべて連続する平方数でなければならない。
• モニック2次多項式 $P$ が $p$-進整型関数体上で定義され、$M \geq 8$ 個の異なる点を平方に写像するならば、$P$ は多項式環において平方であるか、有限な例外集合 $E$ に属する。
• 特性0の関数体においても、同様の表現結果が成り立つ：$P(a_i)$ が $M \geq 8$ 個の異なる $a_i$ に対して平方であるならば、$P$ は平方であるか、有限な例外集合に属する。
• Bombieri の一般型多様体に関する予想のもとで、数体に対しても同様の結果が成り立つ。これにより、Büchi 問題がこの設定で成り立つことが示される。
• この解は、Büchi 問題が成り立つと仮定すると、$\mathbb{Z}$ における言語 $\mathcal{L}_2 = \{0,1,+ , P_2\}$ において乗法が正の存在的に定義可能であることを示す。
• $\mathcal{M}_p$ および $\mathcal{A}_p$ における Büchi 問題の正の解は、乗法の定義可能性を介して、$\mathcal{M}_p$ および $\mathcal{A}_p$ における $\mathcal{L}_2$ での正の存在的理論の決定不能性を導く。