[論文レビュー] Representation of the Quantum Plane, its Quantum Double and Harmonic Analysis on $GL_q^+(2,R)$

Ivan Chi-Ho Ip|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、量子平面およびその双対を、von Neumann代数として完全なGNS表現を提供し、関連する乗法的ユニタリが管理可能であることを確立している。これは、量子半群の文脈において驚くべき結果である。量子双対 $χ(χ)$ を $GL_q^+(2,\mathbb{R})$ として構成し、$b$-超幾何関数を用いてその基本的コリpresentationを特定し、量子双対の $L^2$-空間が、Plancherel測度 $|S_b(Q+2i\alpha)|^2$ を持つ、モジュラー双対 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}))$ の連続的系列の表現に分解されることを示している。これにより、積分変換と量子ダイログラミスの対称性が結びつけられる。

ABSTRACT

We give complete detail of the description of the GNS representation of the quantum plane $\cA$ and its dual $\hat{\cA}$ as a von-Neumann algebra. In particular we obtain a rather surprising result that the multiplicative unitary $W$ is manageable in this quantum semigroup context. We study the quantum double group construction introduced by Woronowicz, and using Baaj and Vaes' construction of the multiplicative unitary $\bW_m$, we give the GNS description of the quantum double $\cD(\cA)$ which is equivalent to $GL_q^+(2,\R)$. Furthermore we study the fundamental corepresentation $T^{ł,t}$ and its matrix coefficients, and show that it can be expressed by the $b$-Hypergeometric function. We also study the regular corepresentation and representation induced by $\bW_m$, and prove that the space of $L^2$ functions on the quantum double decomposes into the continuous series representation of $U_q(\gl(2,\R))$ with the quantum dilogarithm $|S_b(Q+2i\a)|^2$ as the Plancherel measure. Finally we describe certain representation theoretic meaning of integral transforms involving the quantum dilogarithm function.

研究の動機と目的

• 量子平面 $\mathcal{A}$ 及びその双対 $\hat{\mathcal{A}}$ を、von Neumann代数として完全なGNS表現を提供すること。
• 量子平面に関連する量子半群の文脈において、乗法的ユニタリ $W$ の管理可能性を確立すること。
• BaajとVaesの乗法的ユニタリ $\mathbf{W}_m$ を用いて、量子双対 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ を $GL_q^+(2,\mathbb{R})$ として構成すること。
• 基本的コリpresentation $T^{\lambda,t}$ を分析し、その行列係数が $b$-超幾何関数で表現可能であることを示すこと。
• 量子双対上の $L^2$ 関数の分解を、モジュラー双対 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}))$ の連続的系列表現として記述し、明示的なPlancherel測度を与えること。

提案手法

• 積分変換 $f(s,t)$ と作用素 $A^{ib^{-1}s}B^{ib^{-1}t}$ を含む $C^*$-代数 $\mathcal{A} = C^\infty(\mathcal{A}_q)$ におけるGNS構成の使用。
• 量子ダイログラミス関数 $g_b(x)$ を用いてユニタリ変換を定義し、非有界な正の自己共役作用素上の関数計算を実現すること。
• コプロダクトからの乗法的ユニタリ $W$ の構成と、Tomita-Takesaki理論を用いた管理可能性の検証。
• BaajとVaesの枠組みを用いて、乗法的ユニタリ $\mathbf{W}_m$ を用いて量子双対 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ を $GL_q^+(2,\mathbb{R})$ として実現すること。
• 行列係数が $b$-超幾何関数で表現可能な、基本的コリpresentation $T^{\lambda,t}$ の同定。
• $\mathbf{W}_m$ によって誘導される左および右正則コリpresentationを用いた正則表現の分解により、Plancherel測度 $|S_b(Q+2i\alpha)|^2$ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ax+b$ 半群に逆元が存在しないにもかかわらず、Woronowiczの意味で、量子平面 $\mathcal{A}$ に関連する乗法的ユニタリ $W$ は管理可能であるか？
• RQ2 GNS構成と乗法的ユニタリ $\mathbf{W}_m$ を用いて、量子双対 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ を $GL_q^+(2,\mathbb{R})$ として完全に実現できるか？
• RQ3 基本的コリpresentation $T^{\lambda,t}$ の行列係数の明示的形は何か？ また、特殊関数とどのように関係しているか？
• RQ4 量子双対上の $L^2$-空間は、モジュラー双対 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}))$ の作用においてどのように分解されるか？
• RQ5 量子ダイログラミス $G_b(x)$ を含む積分変換の表現論的解釈は何か？ また、Barnesの補題とどのように関係しているか？

主な発見

• $ax+b$ 半群に古典的ハール測度が存在しないにもかかわらず、$\mathcal{A}$ 上のハール汎関数は $h\left(\iint f(s,t)A^{ib^{-1}s}B^{ib^{-1}t}dsdt\right) = f(0,iQ)$ で与えられ、ここで $Q = b + b^{-1}$ である。
• 量子平面に関連する乗法的ユニタリ $W$ が管理可能であることが証明され、これは量子半群の文脈において非自明な結果である。
• 量子双対 $\mathcal{D}(\mathcal{A})$ は $GL_q^+(2,\mathbb{R})$ と同定され、その基本的コリpresentation $T^{\lambda,t}$ の行列係数は $b$-超幾何関数で表現可能である。
• 正則表現 $L^2(\mathcal{D}(\mathcal{A}))$ は、Plancherel測度 $|S_b(Q+2i\alpha)|^2$ を持つ、モジュラー双対 $U_{q\tilde{q}}(\mathfrak{gl}(2,\mathbb{R}))$ の連続的系列の表現に分解される。
• $W$ の五角形方程式が、量子ダイログラミス $G_b(x)$ の 4-5 関係と同倣であり、$b \to 0$ の極限でBarnesの第一補題に帰着されることを示した。
• $G_b(x)$ の6-9関係が導出され、$b \to 0$ の極限でBarnesの第二補題に帰着されることを示した。これは、Pfaff-Saalschützの和の一般化である。