[論文レビュー] Representation Theory of W-Algebras

Tomoyuki Arakawa|ArXiv.org|Jun 3, 2005

Advanced Topics in Algebra被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、任意の複素数レベル k における単純なリー代数に付随する W-代数の '−' 減少関手の正確性を確立し、これが既約モジュールをゼロまたは既約モジュールに写像することを証明する。さらに、W-代数の各既約最高ウェイト表現のキャラクターが、対応するアフィンリー代数表現のキャラクターによって完全に決定されることを示し、Frenkel–Kac–Wakimoto の W-代数表現のモジュラー不変性に関する予想の証明を完了する。

ABSTRACT

This paper is the detailed version of math.QA/0403477 (T. Arakawa, Quantized Reductions and Irreducible Representations of W-Algebras) with extended results; We study the representation theory of the W-algebra $W_k(g)$ associated with a simple Lie algebra $g$ (and its principle nilpotent element) at level k. We show that the "-" reduction functor is exact and sends an irreducible module to zero or an irreducible module at any level k. Moreover, we show that the character of each irreducible highest weight representation of $W_k(g)$ is completely determined by that of the corresponding irreducible highest weight representation of affine Lie algebra of $g$.

研究の動機と目的

• 任意の複素数レベル k における W-代数の '−' 減少関手の正確性を確立すること。
• W-代数の既約最高ウェイト表現のキャラクターが、対応するアフィンリー代数表現のキャラクターによって完全に決定されることを示すこと。
• W-代数のモジュラー不変表現の存在および構成に関する Frenkel–Kac–Wakimoto の予想の証明を完了すること。
• BRST コホロロジーとフィルトレーション技法を用いて、W-代数の既約表現とアフィンリー代数の表現の関係を明確にすること。

提案手法

• 量子化された Drinfeld–Sokolov 減少を用いた BRST コホロロジーによる W-代数の構成を用いる。
• フィルトレーション理論とスペクトル系列を用いて、ボソン代数およびその電流代数の構造を分析する。
• Zhu 代数と関連する層状リー代数を用いて、W-代数の表現とアフィンリー代数の表現を関連付ける。
• 関手 $H_{-}^{0}(\bullet)$ を用いて '−' 減少を研究し、カテゴリ $\mathcal{O}$ 上でのその正確性を証明する。
• 電流代数および Zhu 代数の PBW 定理を用いて基底を構成し、表現を分析する。
• 代数の標準的次数付き完備化を用いて、表現理論における位相的構造を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の複素数レベル k における W-代数の最高ウェイトモジュールのカテゴリ上での '−' 減少関手は正確か？
• RQ2 W-代数の既約最高ウェイト表現のキャラクターは、対応するアフィンリー代数表現のキャラクターによって完全に決定可能か？
• RQ3 '−' 減少は既約性を保存するか？すなわち、既約モジュールをゼロまたは既約モジュールに写像するか？
• RQ4 W-代数の表現理論はどの程度、'−' 減少関手によってアフィンリー代数の表現理論に還元可能か？
• RQ5 W-代数の既約表現のキャラクター公式は、アフィンリー代数の Kac–Wakimoto キャラクター公式とどのように関係するか？

主な発見

• 任意の複素数レベル k に対して、'−' 減少関手は正確であり、既約モジュールをゼロまたは既約モジュールに写像する。
• $\mathscr{W}_{k}(\bar{\mathfrak{g}})$ の各既約最高ウェイト表現のキャラクターは、アフィンリー代数 $\mathfrak{g}$ の対応する既約最高ウェイト表現のキャラクターによって完全に決定される。
• '−' 減少の正確性とキャラクターの決定を用いて、W-代数のモジュラー不変表現に関する Frenkel–Kac–Wakimoto の予想の証明が完了した。
• $\mathscr{W}_{k}(\bar{\mathfrak{g}})$ の既約商は $\mathbf{L}(\gamma_{\operatorname{vac}_{k}})$ に同型であることが確認され、真空レベルにおける単純モジュールの構造が裏付けられた。
• $\mathbf{L}(\gamma_{\bar{\lambda}-(k+h^{\vee})\bar{\rho}^{\vee}})$ のキャラクター公式は、Kostant の K-理論的重複度の和として表現され、W-代数とアフィンリー代数の表現理論の間の関係が明確にされた。
• 同型 $H^{0}_{+}(L(\lambda)) \cong \mathbf{L}(\gamma_{\bar{\lambda}-(k+h^{\vee})\bar{\rho}^{\vee}})$ が確立され、'−' と '+' 減少の双対性が確認された。