[论文解读] Representations of cross product algebras of Podles quantum spheres

Konrad Schmuedgen, Elmar Wagner|ArXiv.org|May 22, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文对交叉积 *-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \rtimes \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ 的不可约可积 *-表示进行分类，表明它们与由投影霍普夫模 $M_j$ 导出的表示 $\pi_j$ 单位等价。本文证明 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ 可分解为这些模的正交直和，显式计算了投影算子与陈类数，并提供了两种等价的希尔伯特空间构造方法。

ABSTRACT

Hilbert space representations of the cross product *-algebras of the Hopf *-algebra U_q(su_2) and its module *-algebras O(S^2_{qr}) of Podles spheres are investigated and classified by describing the action of generators. The representations are analyzed within two approaches. It is shown that the Hopf *-algebra O(SU_q(2)) of the quantum group SU_q(2) decomposes into an orthogonal sum of projective Hopf modules corresponding to irreducible integrable *-representations of the cross product algebras and that each irreducible integrable *-representation appears with multiplicity one. The projections of these projective modules are computed. The decompositions of tensor products of irreducible integrable *-representations with spin l representations of U_q(su_2) are given. The invariant state h on O(S^2_{qr}) is studied in detail. By passing to function algebras over the quantum spheres S^2_{qr}, we give chart descriptions of quantum line bundles and describe the representations from the first approach by means of the second approach.

研究动机与目标

• 对交叉积 *-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \rtimes \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ 的所有不可约可积 *-表示进行分类。
• 证明霍普夫 *-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ 可分解为投影霍普夫模 $M_j$ 的正交直和，每个模对应一个不可约 *-表示 $\pi_j$。
• 计算投影算子到模 $M_j$ 的表达式，并确定其陈类数。
• 建立两种构造表示方法之间的对应关系：一种通过模分解，另一种通过函数代数在量子线丛上的作用。

提出的方法

• 利用 $\mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ 中的斜本原元素 $X_r$，将量子球面 $\mathrm{S}^2_{qr}$ 定义为 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ 中 $X_r$-不变元素的子代数。
• 利用 Müller 和 Schneider 关于忠实平坦性与群状生成元的结果，将 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ 分解为投影霍普夫模 $M_j$ 的正交直和。
• 通过描述 $\mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ 的自旋 $l$ 表示中权向量的正交基上生成元的作用，构造交叉积代数的希尔伯特空间表示 $\pi_j$。
• 通过在 $L^2(\mathrm{S}^2_{qr})^{2|j|+1}P_j$ 上实现有界算子，建立第二种方法，利用标准形式并从 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr})$ 扩展表示。
• 通过验证伴随关系以及在稠密定义域上的作用相容性，证明两种表示方法之间的单位等价性。
• 对 $j=0$ 使用海森堡表示，恢复已知公式，并验证与早期构造的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \rtimes \mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ 的不可约可积 *-表示进行分类？
• RQ2 霍普夫 *-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ 如何分解为与这些表示对应的正交投影模？
• RQ3 在希尔伯特空间表示中，生成元在正交基上的作用的显式公式是什么？
• RQ4 通过模分解与通过函数代数作用构造表示的两种不同方法之间有何关系？
• RQ5 投影算子到每个模 $M_j$ 的陈类数是多少，以及如何计算？

主要发现

• 霍普夫 *-代数 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ 可分解为投影霍普夫模 $M_j$ 的正交直和，每个模对应一个不可约可积 *-表示 $\pi_j$。
• 每个不可约可积 *-表示 $\pi_j$ 在 $\mathcal{O}(\mathrm{SU}_q(2))$ 的分解中出现的重数为一。
• 投影算子到模 $M_j$ 已显式计算，其陈类数也已确定。
• 不可约可积 *-表示 $\pi_j$ 与 $\mathcal{U}_q(\mathrm{su}_2)$ 的自旋 $l$ 表示 $T_l$ 的张量积，可分解为表示 $\pi_k$ 的直和，且具有显式的重数公式。
• 当 $j=0$ 时，表示 $\pi_0$ 为海森堡表示，且生成元在 $\mathcal{O}(\mathrm{S}^2_{qr}) \subset \mathcal{F}_{\mathrm{b}}(\mathrm{S}^2_{qr})$ 上的作用由左乘与右乘给出，恢复了已知公式。
• 两种表示构造方法是单位等价的：一种通过模分解，另一种通过 $L^2(\mathrm{S}^2_{qr})^{2|j|+1}P_j$ 上的有界算子，且在稠密定义域上作用一致。