[論文レビュー] Representations of surface groups in the general linear group

Steven B. Bradlow, O. Garci a-Prada+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、Morse理論とHiggs bundle技術を用いて、$g \geq 2$ の genus を持つ曲面群の $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ への半単純表現のモジュライ空間の連結成分の数を決定する。$n \geq 3$ の場合、$\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}$ は $3 \cdot 2^{2g}$ 個の連結成分を持つことが示され、その成分数はStiefel–Whitney不変量 $w_1$ と $w_2$ に依存し、$n$ が偶数か奇数かによって場合分けされる。主な貢献は、非射影的Higgs bundleの極小値を考慮した精緻な数え上げであり、以前の $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ 結果との不一致を解消するものである。

ABSTRACT

We determine the number of connected components of the moduli space for representations of a surface group in the general linear group.

研究の動機と目的

• $n \geq 3$ に対して、曲面群の $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ への半単純表現のモジュライ空間の連結成分の数を決定すること。
• Hitchinの $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ に関する結果を一般線型群 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ に拡張すること。
• Stiefel–Whitney不変量 $w_1$ と $w_2$ がモジュライ空間の連結成分を分類する上で果たす役割を明確にすること。
• $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ と $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ のモジュライ空間の成分数の不一致を、非射影的Higgs bundleの極小値を分析することで解消すること。

提案手法

• $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-Higgs bundleのモジュライ空間にMorse理論を適用し、離散的な臨界点を持つ適切な関数 $f$ を用いる。
• $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-表現と、Higgs場が $H^0(E(\mathfrak{m}_{\mathbb{C}}) \otimes K)$ に倣う $\mathrm{O}(n,\mathbb{C})$-Higgs bundle 間の対応を用いる。
• [1] の一般論の定理4.3を適用し、臨界点の解析を簡略化し、場合分けによる議論の必要性を減らす。
• Morse関数 $f$ の局所的極小値を分析し、$\Phi = 0$（半安定 $\mathrm{O}(n,\mathbb{C})$-バンドルに対応）と $\Phi \neq 0$（非自明なHiggs場）のケースを区別する。
• Ramanathanの結果（半安定 $\mathrm{O}(n,\mathbb{C})$-バンドルのモジュライ空間は連結）を用い、$w_1, w_2$ の各ペアに対して1つの成分を確立する。
• さらに、$\Phi \neq 0$ である極小値の同型類の数を、命題4.5と4.6を用いて数える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $n \geq 3$ かつ $g \geq 2$ の場合、曲面群の $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ への半単純表現のモジュライ空間 $\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}$ はいくつの連結成分を持つのか？
• RQ2 Stiefel–Whitney不変量 $w_1$ と $w_2$ は、$\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}$ の連結成分構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$ の成分数が $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ のそれと異なるのはなぜか、特に $n$ が偶数の場合に顕著であるが、その理由は何か？
• RQ4 非自明なHiggs場（$\Phi \neq 0$）は、$w_1, w_2$ に依存する成分以外に、どのように追加の連結成分を生成するのか？
• RQ5 $\mathrm{PGL}(n,\mathbb{R})$-同値ではなく $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-同値を用いることで、成分数にどのような影響があるか？

主な発見

• $n \geq 3$ かつ $g \geq 2$ の場合、モジュライ空間 $\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}$ は $3 \cdot 2^{2g}$ 個の連結成分を持つ。
• $n = 2q$ が偶数の場合、$\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}(w_1, w_2)$ は $w_1 \neq 0$ のとき、または $w_1 = 0$ かつ $w_2 \neq (g-1)q^2 \mod 2$ のときは連結である。
• $n = 2q$ が偶数で $w_1 = 0$ かつ $w_2 = (g-1)q^2 \mod 2$ のとき、$\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}(w_1, w_2)$ は $2^{2g} + 1$ 個の連結成分を持つ。
• $n = 2q+1$ が奇数の場合、$\mathcal{M}^+_{\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})}(w_1, w_2)$ は $w_2 \neq 0$ のときは連結であり、$w_2 = 0$ のときは2つの連結成分を持つ。
• 偶数 $n$ で $w_1 = 0$ かつ $w_2 = (g-1)q^2 \mod 2$ の場合に生じる追加の $2^{2g}$ 個の成分は、射影的同値性による重複数えを避ける $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-同値性のおかげで、非射影的Higgs bundleの極小値の同型類に起因する。
• $\mathrm{PSL}(n,\mathbb{R})$ 結果との不一致は、$\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$-同値性では $\Phi \neq 0$ の極小値が二重に数えられないのに対し、$\mathrm{PGL}(n,\mathbb{R})$-同値性では二重に数えられることに起因するため、この点で解消される。