[論文レビュー] Representations of surface groups with finite mapping class group orbits

Indranil Biswas, Thomas Koberda+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、表面群または自由群の表現が、その自己同型群（写像類群または自由群の自己同型群）の作用に関して有限軌道を持つならば、その表現の像は必ず有限であることを証明することで、長年の未解決問題を解決する。この結果は、表面群およびランク ≥2 の自由群の両方に対して成り立ち、証明は内部自己同型およびシミレティック自己同型の不変性の分析に依拠しており、表現多様体ではなくキャラクター多様体に置き換えた場合に結果が成り立たないことを示す重要な反例が含まれる。

ABSTRACT

Let $(S,\, \ast)$ be a closed oriented surface with a marked point, let $G$ be a fixed group, and let $ρ\colonπ_1(S) \longrightarrow G$ be a representation such that the orbit of $ρ$ under the action of the mapping class group $Mod(S,\, \ast)$ is finite. We prove that the image of $ρ$ is finite. A similar result holds if $π_1(S)$ is replaced by the free group $F_n$ on $n\geq 2$ generators and where $Mod(S,\, \ast)$ is replaced by $Aut(F_n)$. We thus resolve a well-known question of M. Kisin. We show that if $G$ is a linear algebraic group and if the representation variety of $π_1(S)$ is replaced by the character variety, then there are infinite image representations which are fixed by the whole mapping class group.

研究の動機と目的

• M. Kisin が提起した、写像類群の軌道が有限であるような表現の像の有限性に関する、よく知られた未解決問題を解決すること。
• 表面群 $\pi_1(S)$ および自由群 $F_n$ ($n \geq 2$) に対して、任意の $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-軌道が有限であるような表現は、像が有限であることを確立すること。
• 表現多様体をキャラクター多様体に置き換えた場合、線形代数的群 $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$ に対しても、この結果が成り立たないことを示すこと。
• キャラクター多様体において、無限大の像を持つ表現が、写像類群全体によって固定される例を提供すること。

提案手法

• Dehn–Nielsen–Baer の定理を用いて、$\operatorname{Mod}(S,\ast)$ が $\operatorname{Aut}(\pi_1(S))$ の有限指数部分群として同定されることを示す。
• $\Gamma = \pi_1(S)$ または $F_n$ に対して、$\operatorname{Aut}(\Gamma)$-不変な表現は、アーベル的像を持つ必要があり、さらに群が表面群またはランク ≥2 の自由群である場合には、像が自明である必要があることを証明する。
• ホモロジー $H_1(\Gamma, \mathbb{Z})$ 上のシンプレクティック群の作用を適用することで、非自明な $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-不変表現が存在し得ないことを示し、その像が自明でない限り不可能であることを示す。
• 線形表現 $\rho: \operatorname{Mod}(S,\ast) \to \operatorname{PGL}_n(\mathbb{C})$ を用いて反例を構成し、$\pi_1(S)$ 上で無限大の像を持つが、$\operatorname{Mod}(S,\ast)$ によって固定されるキャラクターを得る。その後、これを $\operatorname{GL}_m(\mathbb{C})$ に上に上げることで、キャラクターを構成する。
• Birman の完全列を用いて、$\pi_1(S)$ を $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ の正規部分群として埋め込み、写像類群の不変性を表面群へと移す。
• Mostow の剛性およびランダムな右角アービン群の性質を活用し、外自己同型群が有限であるような群のクラスを特定することで、結果のより広範な適用可能性を裏付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像類群 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ による軌道が有限であるような表現 $\rho: \pi_1(S) \to G$ に対して、$\rho(\pi_1(S))$ は有限か？
• RQ2 自由群 $F_n$ に対する表現が $\operatorname{Aut}(F_n)$ の作用で有限軌道を持つ場合、同様の結論が成り立つか？
• RQ3 表現多様体ではなくキャラクター多様体を用いる場合、無限大の像を持つ表現が、写像類群全体によって固定され得るか？
• RQ4 $\Gamma$ および $G$ のどのような構造的性質が、$\operatorname{Aut}(\Gamma)$-不変な表現が有限像を持つことを可能にするか？
• RQ5 外自己同型群 $\operatorname{Aut}(\Gamma)$-不変な表現が常に自明であるような自然な群のクラス $\Gamma$ は存在するか？

主な発見

• 写像類群 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ による軌道が有限であるような表現 $\rho: \pi_1(S) \to G$ に対して、$\rho(\pi_1(S))$ は有限であり、M. Kisin が提起した問題を解決する。
• 自由群 $F_n$ ($n \geq 2$) に対しても、$\operatorname{Aut}(F_n)$-軌道が有限であるような表現は、同様に像が有限である。
• $\Gamma = \pi_1(S)$ に対して、十分大きな $n$ に対して、キャラクター多様体 $\mathcal{X}(\Gamma, \operatorname{GL}_n(\mathbb{C}))$ 上では、写像類群 $\operatorname{Mod}(S,\ast)$ の作用によって完全に固定される無限大の像を持つ表現が存在する。
• このような無限大の像を持つ固定キャラクターの構成は、定理 5.1 によって保証される、$\pi_1(S)$ 上で無限大の像を持つ線形表現 $\sigma: \operatorname{Mod}(S,\ast) \to \operatorname{PGL}_n(\mathbb{C})$ に依拠している。
• このような表現における $\pi_1(S)$ の像は、自由群を含めることができるため、像が単に無限大であるだけでなく、構造的に豊かであることが示される。
• 一般の群 $\Gamma$ に対してはこの結果は成り立たず、また表現多様体をキャラクター多様体に置き換えても成り立たないため、定理 1.1 の条件の鋭さが浮き彫りになる。