[論文レビュー] Representations of the fundamental group of a closed oriented surface in Sp(4,R)

Oscar Garcı́a-Prada, Ignasi Mundet i Riera|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、$g \geq 2$ の閉じた向き付け可能な曲面の基本群の $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$ への表現の空間の連結成分の数を計算しており、$|d| < 2g-2$ の場合、空間は連結であると示している。一方、$|d| = 2g-2$ の場合、連結成分は $3 \cdot 2^{2g} + 2g - 4$ 個存在する。証明はヒッグス束理論、安定性基準、およびペア $(V, \beta)$ のための新規な多安定性条件を用い、モジュライ空間上の幾何学的・解析的手段により連結性を確立している。

ABSTRACT

We classify the connected components of the space of representations of the fundamental group of a closed oriented surface of genus $\geq 2$ in $Sp(4,{\mathbf R})$. We prove that this is equivalent to classifying the connected components of the moduli space of representations (which consists of conjugacy classes of reductive representations). We then continue the analysis initiated by Gothen in math/9904114, relying on: (1) the relation between our moduli space of representations and the moduli space of certain (polystable) analogues of Higgs bundles (which follows essentially from work of Hitchin, Simpson and Corlette) and (2) the existence of a proper function on the moduli space whose set of local minima can be identified with the moduli space $N$ of (polystable) quadratic bundles of rank 2; we finally deduce our result from the classification of the connected components of $N$.

研究の動機と目的

• 閉じた向き付け可能な曲面（ genus $g \geq 2$）の基本群の $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$ への表現の空間の連結成分の数を特定すること。
• 再帰的表現のモジュライ空間に関するゴテンの結果を、$|d| \leq 2g-2$ を満たすすべての次数 $d$ に拡張すること。
• $0 < |d| < 2g-2$ の場合に、ヒッグス束技法と安定性条件を用いてモジュライ空間 $\mathcal{R}(d)$ の連結性を確立すること。
• 実数パラメータ $\alpha$ に依存するペア $(V, \beta)$ の新しい多安定性条件を導入し、その分析を行い、$-2(g-1) < d < 0$ および $\alpha \geq 0$ の場合にその連結性を証明すること。

提案手法

• $\mathcal{X}$ の表現空間を $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})^{2g}$ に埋め込み、位相的構造を与える。
• 構造群を $\mathrm{U}(2)$（$\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$ の最大コンパクト部分群）に還元することにより、表現の次数 $d$ を定義する。
• ミルナー＝ウッド不等式を用いて、$|d| \leq 2g-2$ に制限する。
• ヒッチン＝小林対応を用いて、再帰的表現のモジュライ空間 $\mathcal{R}(d)$ を、$\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$-ヒッグス束の多安定なモジュライ空間 $\mathcal{M}(d)$ と関連付ける。
• $\mathcal{M}(d)$ 上に、局所最小値が連結成分の数を上界で与える、適切な $L^2$-ノルム関数を構成する。
• 局所最小値を、$d$ の符号に応じて $\beta = 0$ または $\gamma = 0$ である部分多様体 $\mathcal{N}(d)$ として特徴づけ、$0 < |d| < 2g-2$ の場合に $\mathcal{N}(d)$ が連結であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 各次数 $d$ に対して、$g \geq 2$ の曲面の基本群の $\mathrm{Sp}(4,\mathbb{R})$-表現の空間にはいくつの連結成分があるか？
• RQ2 $0 < |d| < 2g-2$ の場合、再帰的表現のモジュライ空間 $\mathcal{R}(d)$ は連結か？
• RQ3 ヒッグス束モジュライ空間 $\mathcal{M}(d)$ の最小値の部分多様体は明示的に記述可能か？ また、連結か？
• RQ4 パラメータ $\alpha$ を持つペア $(V, \beta)$ の多安定性条件は、負の $d$ および $\alpha \geq 0$ の場合に、連結なモジュライ空間をもたらすか？

主な発見

• $|d| < 2g-2$ の場合、次数 $d$ の表現空間 $\mathcal{X}(d)$ は空でなく、連結である。
• $|d| = 2g-2$ の場合、空間 $\mathcal{X}(d)$ は正確に $3 \cdot 2^{2g} + 2g - 4$ 個の非空連結成分を持つ。
• $0 < |d| < 2g-2$ のすべての $d$ に対して、再帰的表現のモジュライ空間 $\mathcal{R}(d)$ は連結であり、非自明な非可約表現の集合も空でない。
• $\mathcal{M}(d)$ のヒッグス束モジュライ空間における最小値の部分多様体 $\mathcal{N}(d)$（$\beta = 0$ または $\gamma = 0$ に依存）は、$0 < |d| < 2g-2$ の場合に連結である。
• $-2(g-1) < d < 0$ および $\alpha \geq 0$ の場合、$\alpha$-安定ペア $(V, \beta)$ のモジュライ空間 $\mathcal{N}_\alpha(d)$ は連結であり、非空な安定部分集合を持つ。
• $0 < |d| < 2g-2$ の場合、$\mathcal{R}(d)$ の連結性は、$\alpha$-安定性解析と $\mathcal{N}(d) = \mathcal{N}_0(d)$ の同定により、$\mathcal{M}(d)$ の連結性から導かれる。