[論文レビュー] Representations of the Poincare group on relativistic phase space

Yaakov Friedman|ArXiv.org|Feb 1, 2008

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 11被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ミンコフスキー計量とカルタンの型IV対称領域に由来する幾何的三重積を備えた複素相空間$$\mathbb{C}^4$$を導入する。この空間上でポアンカレ群のユニタリ表現を構成し、ニューマン＝ペンローズ基底を介して三重積が自然にスピン1およびスピン1/2の表現を生じることを示した。これにより、相対論的力学と量子スピンが幾何的枠組みの中で統一される。

ABSTRACT

We introduce a complex relativistic phase space as the space $\mathbb{C}^4$ equipped with the Minkowski metric and with a geometric tri-product on it. The geometric tri-product is similar to the triple product of the bounded symmetric domain of type IV in Cartan's classification, called the spin domain. We define a spin 1 representations of the Lie algebra of the Poincaré group by natural operators of this tri-product on the complex relativistic phase space. This representation is connected with the electromagnetic tensor. A spin 1/2 representation on the complex relativistic phase space is constructed be use of the complex Faraday electromagnetic tensor. We show that the Newman-Penrose basis for the phase space determines the Dirac bi-spinors under this representation. Quite remarkable that the tri-product representation admits only spin 1 and spin 1/2 representations which correspond to most particles of nature.

研究の動機と目的

• 相対論的位相空間を幾何学的に定式化し、複素構造を用いて時空変数と運動量変数を統合する枠組みを構築すること。
• 新しい幾何的三重積を用いて、この位相空間上でのポアンカレ群のユニタリ表現を構成すること。
• 三重積が自然にスピン1およびスピン1/2の表現を生じることを示し、自然界の基本粒子に対応させること。
• 位相空間上のニューマン＝ペンローズ基底とディラック二スピン子の構造を結びつけること。
• 実電磁テンソルではなく、複素ファラデー・テンソルが、電子のようなスピンをもつ荷電粒子の完全な運動を記述するのに優れている理由を説明すること。

提案手法

• カルタン分類におけるスピン領域の三重積に類似した幾何的三重積を備えた、ミンコフスキー内積を備えた複素相空間$\mathbb{C}^4$を定義する。
• 時空の並進生成子$P_\mu$を位相空間上の座標および運動量演算子として表現する。
• 相対論的角運動量生成子$M_{\alpha\beta}$を三重積から自然に導かれる演算子として表現し、ブーストと回転が電場および磁場テンソルに関連付ける。
• ブーストを電場強度テンソルで、回転を磁場強度テンソルで表現する実電磁場テンソルを用いてスピン1表現を構成する。
• 複素ファラデー・テンソル$\mathbf{F}_c = \mathbf{E} + i\mathbf{B}$を用いてスピン1/2表現を構成し、これが位相空間上でのローレンツ代数の複素表現として作用することを示す。
• ニューマン＝ペンローズ基底を位相空間に適用し、その結果得られる構造がスピン1/2表現の下でディラック二スピン子として変換されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素相空間上の幾何的三重積は、どのようにしてポアンカレ群のユニタリ表現を実現するか？
• RQ2 なぜ実電磁テンソルはスピン1表現を、複素ファラデー・テンソルはスピン1/2表現をそれぞれ生じるのか？
• RQ3 ニューマン＝ペンローズ基底は、相対論的位相空間とディラック二スピン子を結びつける役割を果たすか？
• RQ4 複素ファラデー・テンソルは、実電磁テンソルよりもなぜ電子の運動をより完全に記述できるのか？
• RQ5 三重積は、なぜスピン1およびスピン1/2の表現のみを自然に制限するのか？

主な発見

• 複素相空間$\mathbb{C}^4$上での幾何的三重積は、ローレンツスカラー積とシンプレクティック形式を拡張し、時空および運動量変数を統合する統一的枠組みを提供する。
• ポアンカレ代数は三重積の自然な演算子として実現される：$P_\mu$は座標および運動量演算子として、$M_{\alpha\beta}$は場のテンソル演算子として。
• ブーストが電場強度テンソルで、回転が磁場強度テンソルで表現されるスピン1表現が構成され、電磁場テンソルと整合的である。
• 複素ファラデー・テンソル$\mathfrak{F}_c = F_c^j \pi^+(M_{0j})$を用いてスピン1/2表現が達成され、これはローレンツ代数の複素表現として作用する。
• ニューマン＝ペンローズ基底を適用した際、位相空間はスピン1/2表現の下でディラック二スピン子として変換され、フェルミオン状態との幾何的関係が確立される。
• 一様な場中での荷電粒子の運動量の時間発展を、$e^{\mathfrak{F}_c \tau} = \cosh(w\tau)I + \frac{\sinh(w\tau)}{w}\mathfrak{F}_c$、$w^2 = z(F)/4$を用いて明示的に解き、複素形式の優位性を示している。