[論文レビュー] Representations of the Quantum Toroidal Algebra on highest weight modules of the Quantum Affine Algebra of type gl(N)

Kouichi Takemura, Denis Uglov|ArXiv.org|Jun 24, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、量子アフィン代数 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ の既約的可解最高重層モジュール上で、タイプ $\mathfrak{sl}(N)$ の量子トロイダル代数の表現を構成する。量子レベルランク双対性の類似を用いて、$U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ がレベル $L$ で、$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(L))$ がレベル $N$ で作用する $q$-フォック空間の相互分解を確立し、最高重層モジュール上での量子トロイダル代数の新しい実現を提供する。

ABSTRACT

A representation of the Quantum Toroidal Algebra of type sl(N) is constructed on every irreducible integrable highest weight module of the Quantum Affine Algebra of type gl(N). As an intermediate step in the construction, we obtain a quantum analogue of the classical level-rank duality, describing the reciprocal decomposition of the q-Fock space with respect to mutually commutative actions of U_q(gl(N)^) of level L, and U_q(sl(L)^) of level N.

研究の動機と目的

• 量子アフィン代数 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ の既約的可解最高重層モジュール上で、タイプ $\mathfrak{sl}(N)$ の量子トロイダル代数の表現を構成すること。
• 量子アフィン代数における古典的レベルランク双対性の量子類似を確立すること。
• $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ がレベル $L$ で、$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(L))$ がレベル $N$ で作用する $q$-フォック空間の相互分解を記述すること。
• 量子アフィン代数の最高重層モジュールを用いて、量子トロイダル代数の新しい実現を提供すること。

提案手法

• 量子アフィン代数およびトロイダル代数の作用を構成するための表現空間として $q$-フォック空間を用いる。
• レベルランク双対性の量子変形を適用し、$U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ がレベル $L$ で、$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(L))$ がレベル $N$ で関連することを示す。
• $q$-フォック空間上に $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ と $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(L))$ の可換作用を構成する。
• $q$-フォック空間が両者の作用の直和として既約モジュールの直和に分解され、重複度が1であることを示す。
• 最高重層モジュールの自己準同型代数への量子トロイダル代数 $U_q(\mathfrak{gl}(N)^{\text{tor}})$ の準同型を確立する。
• ドリンフェルト＝ジモボの実現およびヴェルマモジュール理論を含む、量子群表現論の標準的技法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 タイプ $\mathfrak{sl}(N)$ の量子トロイダル代数は、どのように $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ の最高重層モジュール上で実現できるか？
• RQ2 量子アフィン代数の文脈において、古典的レベルランク双対性の量子類似とは何か？
• RQ3 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ がレベル $L$ で、$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(L))$ がレベル $N$ で作用するとき、$q$-フォック空間はどのように分解されるか？
• RQ4 この双対性を用いて、量子トロイダル代数を $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ の既約的可解最高重層モジュール上で表現できるか？
• RQ5 これらの可換な量子群作用の下での、結合表現空間の構造は何か？

主な発見

• タイプ $\mathfrak{sl}(N)$ の量子トロイダル代数の表現が、$U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ のすべての既約的可解最高重層モジュール上で明示的に構成された。
• $q$-フォック空間は、$U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(N))$ がレベル $L$ で、$U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}(L))$ がレベル $N$ で作用する可換作用の下で、既約モジュールの直和に分解され、重複度が1である。
• この分解は、古典的レベルランク双対性の量子類似を実現し、古典的双対性を量子設定に一般化する。
• この構成により、量子アフィン代数の最高重層モジュールを用いた、量子トロイダル代数の新しい実現が得られる。
• 二つの量子アフィン代数の $q$-フォック空間上での作用は可換であり、その結合表現構造が完全に記述された。
• 結果として、$q$-フォック空間の枠組みを通じて、量子トロイダル代数と量子アフィン代数の表現論の間の橋渡しが確立された。