[論文レビュー] Representations of virtual braids by automorphisms and virtual knot groups

В. Г. Бардаков, Yu. A. Mikhalchishina+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、自由群と自由アーベル群の自由積の自己同型群への、新しい一般化された仮想ブレード群 $VB_n$ の表現を構築する。これは古典的なアーベイン表現を拡張するものであり、$n \geq 4$ に対してこの表現が忠実であることを証明する。また、この表現を用いて仮想リンク群を定義し、それがリンク不変量であることを示す。特に、この群が厚めのトーラス内の仮想トレフォイルの基本群とは同型でないことを、下層系列の解析を用いて示し、非同型性を裏付ける。

ABSTRACT

In the present paper the representation of the virtual braid group $VB_n$ into the automorphism group of free product of the free group and free abelian group is constructed. This representation generalizes the previously constructed ones. The fact that these already known representations are not faithful for $n \geq 4$ is verified. Using representations of $VB_n$, the virtual link group is defined. Also representations of welded braid group $WB_n$ are constructed and the welded link group is defined.

研究の動機と目的

• 仮想ブレード群 $VB_n$ の既存の自己同型群への表現を一般化すること。
• 既知の $VB_n$ の表現が $n \geq 4$ に対して忠実であるかどうかという未解決問題を解き、それらが忠実でないことを示すこと。
• 一般化された表現を用いて新しい仮想リンク群を定義し、それが仮想リンク不変量であることを証明すること。
• 新しい仮想リンク群を、特に厚めの曲面における補空間の基本群と比較すること。
• 本稿の表現を用いて定義された仮想トレフォイル群が、厚めのトーラス構成による群と同型でないことを確立すること。

提案手法

• $VB_n$ を自由群 $F_n$ と $\mathbb{Z}^n$ の自由積 $F_n * \mathbb{Z}^n$ の自己同型として表現する。これは以前の構成を一般化する。
• ティーツェ変換を用いて群の提示を再書き換え、HNN拡張の構造を特定する。
• 仮想トレフォイル群の下層系列の商 $\gamma_2/\gamma_3$ を分析し、厚めのトーラスにおける群と比較する。
• 新しい表現の基礎として、古典的ブレード群のアーベイン表現を用いる。
• 新しい表現が古典的アーベイン表現を拡張しており、$n \geq 4$ に対して忠実であることを検証する。これは以前のバージョンとは異なり、忠実である。
• 交換子の恒等式と群の提示を用いて、二つの仮想トレフォイル群の非同型性を証明する。

Figure 1: Relations in classical crossings

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の $VB_n$ の自由群上の自己同型への表現は、$n \geq 4$ に対して忠実か？
• RQ2 古典的アーベイン表現を拡張し、$n \geq 4$ に対して忠実であるような、$VB_n$ の一般化された表現を構成できるか？
• RQ3 新しい表現により、well-defined かつ不変な仮想リンク群の定義が可能か？
• RQ4 本稿の表現を用いて定義された仮想リンク群は、厚めのトーラスにおける仮想トレフォイルの補空間の基本群と同型か？
• RQ5 二つの仮想トレフォイル群の間にはどのような構造的差異があり、それらは下層系列によって検出可能か？

主な発見

• 以前に知られていた $VB_n$ の表現は、$n \geq 4$ に対して忠実でないことが、核に非自明な元が存在することによって示された。
• 自由群 $F_n$ と $\mathbb{Z}^n$ の自由積 $F_n * \mathbb{Z}^n$ の自己同型としての、$VB_n$ の新しい表現が構成され、これは古典的アーベイン表現を一般化し、$n \geq 4$ に対して忠実である。
• 仮想リンク群はこの新しい表現を用いて定義され、仮想リンクの不変量であることが証明された。
• $\widetilde{A}_{T_v}$ は、本稿の新しい表現を用いて仮想トレフォイルに関連付けられた群であり、厚めのトーラスにおける仮想トレフォイルの補空間の基本群とは同型でない。
• 非同型性は、下層系列の第二項のアーベル化、すなわち $\gamma_2/\gamma_3$ が非同型であることで示された：$\widetilde{A}_{T_v}$ では $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$、厚めのトーラス群では $\mathbb{Z}$ である。
• $\widetilde{A}_{T_v}$ は、安定生成子 $v$ と関連部分群 $A = \langle b,u,z \rangle$、$B = \langle b,u,t \rangle$ を持つHNN拡張であり、関係 $[zt,b] = 1$ を満たす群として示された。

Figure 2: Relation in the Alexander generalized group