[論文レビュー] Residual-based a posteriori error estimates of mixed methods in Biot's consolidation model.

Yuwen Li, Ludmil Zikatanov|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 46被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、3変数形式のビオの圧縮モデルに適用された混合有限要素法に対する、残差に基づく後験的誤差推定を提示する。この推定器は、データの振動を考慮に入れ、空間時間離散化誤差に対して信頼性のある上界および下界を提供する。さらに、この解析の副産物として、熱方程式に対する新たな後験的誤差推定が得られる。

ABSTRACT

We present residual-based a posteriori error estimates of mixed finite element methods for the three-field formulation of Biot's consolidation model. The error estimator is an upper and lower bound of the space time discretization error up to data oscillation. As a by-product, we also obtain new a posteriori error estimate of mixed finite element methods for the heat equation.

研究の動機と目的

• 3変数形式のビオの圧縮モデルにおける混合有限要素法に対する信頼性のある後験的誤差推定器の開発。
• 誤差推定器が、データ振動を除き、空間時間離散化誤差を上界および下界で抑えられることの保証。
• 主な解析の副産物として、熱方程式に適用された混合有限要素法に対する新たな後験的誤差推定の導出。

提案手法

• 解析は、ビオの圧縮モデルの弱形式に基づいて導出された残差に基づく誤差推定器を採用する。
• 推定器の信頼性と有効性を確立するために、双対性の議論とインフラ-サブ条件を活用する。
• 空間時間誤差関数を導入し、誤差を残差項とデータ振動成分に分解する。
• 安定性を保証するため、Brezzi-Babuřa-Brezzi (B-B) 条件を満たす混合有限要素空間を用いる。
• 要素単位の残差とフラックス・圧力の局所的再構成を用いて誤差推定器を構築する。
• 熱方程式への応用は、対応する混合弱形式を分離し、同様の残差に基づく手法を適用することで拡張される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ビオの圧縮モデルにおける空間時間離散化誤差に対して、上界および下界を提供する残差に基づく後験的誤差推定器を構築可能か？
• RQ2 混合有限要素法の文脈において、データ振動は誤差推定器の信頼性および有効性にどのように影響するか？
• RQ3 提案手法をどのように変更すれば、熱方程式に対する新たな後験的誤差推定を得られるか？
• RQ4 3変数混合形式における誤差推定器の有効性と信頼性を保証する条件は何か？
• RQ5 局所的残差と再構成は、全体の誤差境界にどのように寄与するか？

主な発見

• 提案された誤差推定器は、データ振動を除き、ビオの圧縮モデルにおける空間時間離散化誤差に対して上界および下界を提供する。
• 信頼性と有効性は、厳密な双対性およびインフラ-サブの議論によって確立された。
• 解析により、標準的な混合有限要素法の仮定のもとで、誤差推定器がロバストであることが確認された。
• 主な解析の副産物として、熱方程式に適用された混合有限要素法に対する新たな後験的誤差推定が導出された。
• 誤差推定器は、局所的残差と再構成を通じて、主要な誤差寄与要因を効果的に捉えている。
• この手法により、誤差推定器が計算可能であり、適応型有限要素メッシュの改良に適していることが保証された。