[論文レビュー] Residual symmetries and Bäcklund transformations

Sy Lou|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 38

ひとこと要約

本稿では、任意のPainlevé可積分系における切り捨てられたPainlevé展開の剰余が非局所的対称性をなすこと、およびその非局所的対称性が拡張系を用いてLie点対称性に局所化可能であることを示している。この局所化された対称性の有限変換は、2種類目のDarboux-Bäcklund変換と等価であることが示され、KdV、KP、Boussinesqなどの可積分方程式に対して、一様なLie対称性に基づく複数ソリトン解の導出が可能となる。

ABSTRACT

It is proved that for a given truncated Painlevé expansion of an arbitrary nonlinear Painlevé integrable system, the residue with respect to the singularity manifold is a nonlocal symmetry. The residual symmetries can be localized to Lie point symmetries after introducing suitable prolonged systems. The finite transformations of the residual symmetries are equivalent to the second type of Darboux-Bäcklund transformations. The once Bäcklund transformations related to the residual symmetries are same for many integrable systems including the Korteweg-de Vries, Kadomtsev-Petviashvili, Boussinesq, Sawada-Kortera and Kaup-Kupershmidt equations. For the Korteweg-de Vries equation, the $n^{th}$ Darboux transformations can also be obtained from the Lie point symmetry approach via the localization of the residual symmetries.

研究の動機と目的

• 任意のPainlevé可積分系における切り捨てられたPainlevé展開の剰余が非局所的対称性であることを示すこと。
• これらの非局所的剰余対称性が、系の拡張を用いることでLie点対称性に局所化可能であることを示すこと。
• 局所化された剰余対称性の有限変換と2種類目のDarboux-Bäcklund変換との直接的同等性を確立すること。
• 共通の対称性に基づくアプローチを用いて、多様な可積分系における複数ソリトン解の導出を統一すること。
• Bäcklund変換の交換性がLie点対称性の加法的構造から自然に生じることを明らかにすること。

提案手法

• 線形化を用いて、展開 $ u = \sum_{i=0}^{\alpha} u_i \phi^{i-\alpha} $ の剰余 $ u_{\alpha-1} $ が元の系の対称性であることを証明する。
• 系のSchwarz形式のMöbius不変性を用い、剰余対称性を特異多様体 $ \phi $ の既知の対称性に関連付ける。
• 補助変数を導入した拡張系を導入し、非局所的剰余対称性をLie点対称性に局所化する。
• 群パrameter $ \epsilon $ と $ c_i $ を用いて局所化された対称性の有限変換を構成し、明示的なDarboux-Bäcklund変換式を導出する。
• KdV方程式に対して、$ n $ 個の局所化された剰余対称性を組み合わせることで $ n $ 階の変換を導出し、既知の2種類目のDarboux変換と等価な式が得られることを示す。
• 行列式表現を用いて $ \psi_i $ と $ w_{ij} $ を含む解の公式が標準的な複数ソリトン解と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Painlevé可積分系における切り捨てられたPainlevé展開の剰余を非局所的対称性として特定できるか？
• RQ2 系の拡張を用いることで、剰余対称性をLie点対称性に局所化することは可能か？
• RQ3 局所化された剰余対称性の有限変換は、2種類目のDarboux-Bäcklund変換を再現するか？
• RQ4 KdV、KP、Boussinesqなどの複数の可積分系に対して、共通の剰余対称性構造を用いて同一のBäcklund変換を導出可能か？
• RQ5 Lie対称性のアプローチは、可積分系における複数Bäcklund変換の交換性をどのように説明するか？

主な発見

• 切り捨てられたPainlevé展開の剰余 $ u_{\alpha-1} $ は、任意のPainlevé可積分系の非局所的対称性である。
• 補助変数を含む拡張系を導入することにより、剰余対称性はLie点対称性に局所化可能である。
• KdV方程式に対して、$ n $ 個の局所化された剰余対称性の有限変換は、$ n $ 階の2種類目のDarboux-Bäcklund変換に一致する。
• 得られた解の公式は標準的な複数ソリトン解と一致する：$ \Delta = 1 - c_1 a e^{k_1 x - k_1^3 t} - c_2 a e^{k_2 x - k_2^3 t} + c_1 c_2 a^2 \frac{(k_1 - k_2)^2}{(k_1 + k_2)^2} e^{(k_1 + k_2)x - (k_1^3 + k_2^3)t} $。
• Lie対称性のアプローチとDarboux変換の同等性は、$ w_{ij,x} = \psi_i \psi_j $ の関係式により確認され、ここで $ \psi_i $ はKdV Laxペアのスペクトル関数である。
• 複数Bäcklund変換の交換性は、Lie点対称性の加法的構造から自然に生じ、Lie代数の性質として自明な結果となる。