[論文レビュー] Resolution and alteration with ample exceptional divisor

Janós Kollár, Jakub Witaszek|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、既存の射影的解体または変形を利用するように、ネーター的で正規のスキームの解体または正規化の例外的除集合が非常に大きなものであることを保証する構成的技法を提示する。主な貢献は、Q-ファクター性と引き戻しを用いた単純だが強力なテクニックであり、これにより数体3次元や代数的空間への応用が可能になる。

ABSTRACT

In this short note we explain how to construct resolutions or regular alterations admitting an ample exceptional divisor, assuming the existence of projective resolutions or regular alterations. In particular, this implies the existence of such resolutions for arithmetic three-dimensional singularities.

研究の動機と目的

• 標準的な解体や変形の構成において、特に正標数の場合に、非常に大きな例外的除集合が得られないという問題に対処する。
• 既存の解体や変形を、非常に大きな例外的除集合を持つものにアップグレードする体系的な手法を提供する。
• 標準的な仮定の下で、このような解体や変形の存在を、数体3次元や代数的空間へと拡張する。
• 埋め込まれた解体や与えられた部分スキームまたは準同型に関して、支配的性を保証する。
• 等変構成を用いて結果を代数的スタックやスタックへ一般化するが、一般の場合には制限がある。

提案手法

• 標的スキームのQ-ファクター性を用いて、ラインバンドルの引き戻しと反射的ヒルの組み合わせにより、π-非常に大きな、π-例外的除集合を構成する。
• 生成的に純無分離な場合に、ラインバンドルを元のスキームから基底上の連接層へ関連付けるために、シュタイン分解とフロベニウス分解を適用する。
• 代数的層のProjを用いて新たな準同型を構成し、望ましい非常大性を持つ射影的で生成的に純無分離な準同型を達成する。
• 準同型の支配性を用いて、最終的な解体または変形が与えられた有限個のものすべてを支配することを保証する。
• ショウの補題を用いて、代数的空間を準射影的被覆を持つスキームに還元し、既知の解体定理の適用を可能にする。
• エタール局所的チェックと等変表現を用いて、代数的空間およびスタックの圏における構成を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的手法がこれを生じさせない場合でも、スキームの解体や変形を、例外的除集合が非常に大きなものになるように変更可能か？
• RQ2 どのような条件下で、射影的解体や正規化変形を、非常に大きな例外的除集合を持つものにアップグレード可能か？
• RQ3 この構成を代数的空間やスタックへ拡張可能か？スタック設定での制限は何か？
• RQ4 得られた解体や変形が、有限個の与えられたものすべてを支配するか、あるいは埋め込まれた部分スキームを尊重するように保証できるか？
• RQ5 正標数において、ガロア被覆や商を経由する際に、例外的除集合の非常大性を維持することは可能か？

主な発見

• 任意のネーター的で正規のスキームが射影的解体（それぞれ対数的解体）をもつならば、非常に大きな例外的除集合を持つ射影的解体（それぞれ対数的解体）が存在する。
• 任意のネーター的で正規のスキームが正規で、射影的で、ガロアな変形をもつならば、非常に大きな例外的除集合を持つ正規で、射影的で、ガロアな変形が存在する。
• 数体3次元特異点は、[CP19]により必要な仮定が満たされるため、非常に大きな例外的除集合を持つ射影的対数的解体をもつ。
• 次元 ≤3 で、アフィンな準優良スキーム上の分離的で有限型の準優良スキーム X に対して、非常に大きな例外的除集合を持つ射影的対数的解体が存在する。
• 次元 ≤2 で、優良スキーム上の有限型のスキームに対して、非常に大きな例外的除集合を持つ正規で、射影的で、ガロアな変形が存在する。
• この構成は支配性と整合する：得られる解体または変形は、与えられた有限個の解体や変形すべてを支配する。