[論文レビュー] Restricted volumes and base loci of linear series

Lawrence Ein, Robert Lazarsfeld+3 more|ArXiv.org|Jul 8, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、部分多様体に沿った除数の制限体積を導入し、それがちょうど増大基底集合上に消失することを確立する。主な貢献は、増大基底集合の既約成分を、制限体積の消失によって特徴づけるものであり、古典的体積論を任意のビッグ除数および部分多様体に拡張し、セーシャドリ定数やジェット分離に関する応用をもたらす。

ABSTRACT

We introduce and study the restricted volume of a divisor along a subvariety. Our main result is a description of the irreducible components of the augmented base locus by the vanishing of the restricted volume.

研究の動機と目的

• 除数の部分多様体に沿った制限体積を定義・研究し、アーモニック除数を超える古典的体積論を一般化すること。
• 特に基底集合との関係において、部分多様体に制限されたラインバンドルの漸近的性質を理解すること。
• 制限体積の消失を用いて除数の増大基底集合を特徴づけ、数値的基準を提供すること。
• 体積および基底集合の理論を実除数類にまで拡張し、連続性および対数凹性の性質を証明すること。
• 制限体積を用いてビッグラインバンドルのジェット分離およびセーシャドリ定数を制御すること。

提案手法

• 制限体積 $\operatorname{vol}_{X|V}(D)$ を、写像 $H^0(X, \mathcal{O}_X(mD)) \to H^0(V, \mathcal{O}_V(mD))$ の像の漸近的成長率として定義する。
• 増大基底集合 $\mathbf{B}_+(D)$ を、十分に小さいアーモニック $A$ に対する $D - A$ の安定基底集合として定義し、これは $D$ の数的同値類にのみ依存する。
• $\operatorname{vol}_{X|V}(D) > 0$ が成り立つための必要十分条件が $V \not\subseteq \mathbf{B}_+(D)$ であることを証明し、増大基底集合への部分多様体の包含関係を数値的基準で特徴づける。
• 制限体積が、$V \not\subseteq \mathbf{B}_+(\xi)$ を満たすクラス $\xi$ の集合上で連続的で、次数 $d$ について斉一次的であり、かつ対数凹性を満たすことを示す。
• 移動交線数および乗数イデアルを用いて制限体積を計算し、セーシャドリ定数と関連付ける。
• カワマタ–ヴィエヒェグの消失定理およびナデルの消失定理を用い、移動セーシャドリ定数を介してジェット分離の結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして除数の体積を部分多様体に制限し、漸近的線形系列の性質を捉えることができるか？
• RQ2 制限体積と除数の増大基底集合との間の正確な関係は何か？
• RQ3 制限体積を用いて、増大基底集合の既約成分を特徴づけられるか？
• RQ4 制限体積は数的同値性および実除数類のベクトル空間における連続性に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 制限体積は、ビッグラインバンドルのジェット分離およびセーシャドリ定数をどの程度まで制御できるか？

主な発見

• 制限体積 $\operatorname{vol}_{X|V}(D)$ が正であるための必要十分条件は $V$ が増大基底集合 $\mathbf{B}_+(D)$ に含まれないことである。これにより、基底集合の数値的特徴づけが得られる。
• 制限体積は $D$ の数的同値類にのみ依存し、$V \not\subseteq \mathbf{B}_+(\xi)$ を満たすクラス $\xi$ の集合上で連続的であり、$\textnormal{Big}^{V}(X)^{+}_{\mathbf{R}}$ 上に一意に連続関数へ拡張可能である。
• 制限体積は次数 $d$ について斉一次的であり、不等式 $\operatorname{vol}_{X|V}(\xi_1 + \xi_2)^{1/d} \geq \operatorname{vol}_{X|V}(\xi_1)^{1/d} + \operatorname{vol}_{X|V}(\xi_2)^{1/d}$ を満たす。
• 移動交線数を用いて制限体積を計算でき、これは古典的交線論をビッグ除数へ一般化する。
• 移動セーシャドリ定数 $\epsilon(\parallel D \parallel; x) > \frac{s+n}{p}$ ならば、線形系列 $|K_X + pD|$ は点 $x$ において $s$-ジェットを分離する。これはアーモニックラインバンドルに対する結果を拡張する。
• 制限体積は $\mathbf{B}_+(D)$ の任意の成分上で恒等的に消失し、制限体積の消失点は正確に増大基底集合を特定する。