[論文レビュー] Reversible Cellular Automata as Integrable Interactions Round-a-Face: Deterministic, Stochastic, and Quantized

Tomaž Prosen|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2021

Quantum many-body systems参考文献 35被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、非可逆セルオートマトン（RCA）規則54および201、およびそれらの確率的・量子的変種が、非一様な星-三角関係の解を用いた相互作用-面周辺（IRF）枠組みによって統合可能であることを確立している。この枠組みにおいて、保存量であり互いに可換な作用素をもつ転送行列が構成され、スペクトル統計を用いた分析により、変種化した規則54モデルが、全統合可能性にもかかわらず、局所的保存量が1つ（ソリトン電流）しか持たないことが示された。

ABSTRACT

A family of reversible deterministic cellular automata, including the rules 54 and 201 of [Bobenko et al., Commun. Math. Phys. 158, 127 (1993)] as well as their kinetically constrained quantum (unitary) or stochastic deformations, is shown to correspond to integrable Floquet circuit models with local interactions round-a-face. Using inhomogeneous solutions of the star-triangle relation with a one or two dimensional spectral parameter, changing their functional form depending on the orientation, we provide an explicit construction of the transfer matrix and establish its conservation law and involutivity properties. Integrability is independently demonstrated by numerically exploring the spectral statistics via the Berry-Tabor conjecture. Curiously, we find that the deformed rule 54 model generically possesses no other local conserved quantities besides the net soliton current.

研究の動機と目的

• 可逆セルオートマトン（RCA）と統合可能モデルとの間の関係を、相互作用-面周辺（IRF）枠組みを通じて確立すること。
• 決定的RCA規則54および201、およびそれらの確率的・量子的変種が、星-三角関係の非一様解を用いて統合可能であることを示すこと。
• これらのモデルに対して、広範な保存量および互いに可換な作用素を生成する転送行列を構築すること。
• 保存量の性質、特に変種化した規則54モデルにおける保存量を調査し、スペクトル統計を用いて統合可能性を検証すること。

提案手法

• 局所的IRF相互作用を用いて、RCA規則54および201を4パラメータの力学的制約付き量子（Floquet）および確率的（マルコフ）回路族に埋め込むこと。
• 方向に応じて変化するスペクトルパラメータを有する星-三角関係の非一様解を用いて、転送行列を構成すること。
• 転送行列を、3スピン系の量子ビット状態に作用する4つの$ 2\times2 $行列$ \{f_{kl}\} $に依存する面重み$ (f_{kl})_i^j $の積として定義すること。
• 転送行列作用素の保存性および自己同型性を証明し、代数的手法により統合可能性を確立すること。
• ベリー＝ターボー予想に従い、累積レベル間隔分布および複素レベル間隔比を含むスペクトル統計を数値的に分析すること。
• Floquet伝搬子を固定された準動量およびソリトン電流セクターに射影し、固有位相統計を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可逆セルオートマトン、たとえば規則54および201は、局所的相互作用を持つ統合可能IRF枠組みに埋め込むことができるか？
• RQ2 RCA規則54および201の力学的制約付き量子的および確率的変種は、星-三角関係を通じて統合可能性を保つのか？
• RQ3 変種化した規則54モデルにおける保存量の構造は何か？ なぜそのモデルは局所的保存量としてソリトン電流しか持たないのか？
• RQ4 変種化したモデルのスペクトル統計は、ポアソン分布およびランダム行列系に比べてどのように異なるのか？ そして、統合可能性に何を示唆するのか？
• RQ5 転送行列形式を用いて、これらのモデルにおける時間に依存する物理量の正確な解を構築できるか？

主な発見

• 変種化した規則54モデルは、一般に、ネットソリトン電流以外に局所的保存量を有しないが、全統合可能性を保つ。
• 変種化した規則54モデルのスペクトル統計は、ベリー＝ターボー予想に従いポアソン過程と整合的であり、統合可能性を支持する。
• 変種化した規則201モデルは、スペクトルに巨視的縮退（$ I_0 = 0.593 $）を示し、隠れた非アーベル量子対称性を示唆している。
• 変種化した規則150モデルは、ウィグナー＝ディラック型のスペクトル統計を示し、量子カオスを示しているのに対し、規則54および201とは異なり統合的挙動を示さない。
• 複素変種化により、スペクトル統計が$ \mathrm{AI}^\dagger $ランダム行列系に一致し、モデルに応じて統合可能性またはカオス性が確認された。
• 非一様星-三角関係の解を用いて構築された転送行列は、変種化した規則54の場合には明確に非局所的であるものの、広範な保存量および互いに可換な作用素を生成する。