[論文レビュー] Revisiting $k$-tuple dominating sets with emphasis on small values of $k$

Babak Samadi, Nasrin Soltankhah+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 29, 2021

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ひとこと要約

本稿は、特に k=2 を中心に、k-タプル支配集合を再検討する。双対スレイター数 sℓ×2(G) を定義し、双対支配数 γ×2(G) の下界としての有効性を示し、4部グラフに制限しても等価性の決定問題が NP-完全であることを証明する。さらに、CockayneとHedetniemi（1977年）が提起した未解決問題を解くために、特定の辺と頂点構造を持つ r-部グラフの新規族 Θ を定義し、完全グラフ（full graphs）を完全に特徴づける。

ABSTRACT

For any graph $G$ of order $n$ with degree sequence $d_{1}\geq\cdots\geq d_{n}$, we define the double Slater number $s\ell_{ imes2}(G)$ as the smallest integer $t$ such that $t+d_{1}+\cdots+d_{t-e}\geq2n-p$ in which $e$ and $p$ are the number of end-vertices and penultimate vertices of $G$, respectively. We show that $\gamma_{ imes2}(G)\geq s\ell_{ imes2}(G)$, where $\gamma_{ imes2}(G)$ is the well-known double domination number of a graph $G$ with no isolated vertices. We prove that the problem of deciding whether the equality holds for a given graph is NP-complete even when restricted to $4$-partite graphs. We also prove that the problem of computing $\gamma_{ imes2}(G)$ in NP-hard even for comparability graphs of diameter two. Some results concerning these two parameters are given in this paper improving and generalizing some earlier results on double domination in graphs. We give an upper bound on the $k$-tuple domatic number of graphs with characterization of all graphs attaining the bound. Finally, we characterize the family of all full graphs, leading to a solution to an open problem given in a paper by Cockayne and Hedetniemi ($1977$).

研究の動機と目的

• 孤立頂点を含まないグラフにおいて、双対支配数 γ×2(G) の下界として双対スレイター数 sℓ×2(G) を確立すること。
• 与えられたグラフに対して sℓ×2(G) = γ×2(G) かどうかを判定する問題が、4部グラフに制限しても NP-完全であることを証明すること。
• d(G) = δ(G) + 1 を満たす完全グラフ（full graphs）のすべての特徴を明らかにすることにより、CockayneとHedetniemi（1977年）が提起した未解決問題を解くこと。
• k-タプル支配数 d×k(G) の上界を提示し、その等号が成立するグラフを特徴づけること。
• 比較可能グラフ（comparability graphs）で直径が2である場合、γ×k(G) の計算が NP-ハードであることを示すこと、k ≥ 2 に対しても同様に成り立つこと。

提案手法

• 双対スレイター数 sℓ×2(G) を、t + d1 + ... + dt − e ≥ 2n − p を満たす最小の t として定義する。ここで e と p はそれぞれ終点および第2終点を表す。
• γ×2(G)-集合における次数和と近傍数の議論を用いて、sℓ×2(G) ≤ γ×2(G) を証明する。
• sℓ×2(G) と γ×2(G) の等価性の決定問題を 3-Partition 問題に還元し、NP-完全性を証明する。
• 不等式 d×k ≤ (1 + √(1 + 4(2m − (k−1)n)/(kγ×k)))/2 を用いて d×k(G) の上界を導出し、等号が成り立つのは G が特定の正則グラフ族 Ψ に属する場合に限ることを示す。
• 完全グラフを特徴づけるために、特定の辺と頂点構造を持つ r-部グラフの族 Θ を構成する。
• 構造的グラフ解析と不等式における等号条件を用いて、G が完全グラフであることと G ∈ Θ であることが同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双対スレイター数 sℓ×2(G) は、常に孤立頂点を含まないすべてのグラフにおいて双対支配数 γ×2(G) の下界となるか？
• RQ2 与えられたグラフに対して sℓ×2(G) = γ×2(G) かどうかを判定する問題は、NP-完全か？
• RQ3 d(G) = δ(G) + 1 を満たす完全グラフの族（full graphs）は完全に特徴づけられるか？
• RQ4 k-タプル支配数 d×k(G) の最もタイトな上界は何か？ そして、どのグラフがその上界に等号を達成するか？
• RQ5 直径が2の比較可能グラフにおいて、γ×k(G) の計算は NP-ハードか？

主な発見

• 双対スレイター数 sℓ×2(G) は、孤立頂点を含まないすべてのグラフにおいて、γ×2(G) の有効な下界である。
• sℓ×2(G) と γ×2(G) の等価性を判定する問題は、4部グラフに制限しても NP-完全である。
• k ≥ 2 に対して、直径が2の比較可能グラフにおいて、γ×k(G) の計算は NP-ハードである。
• d×k(G) の上界は、d×k ≤ (1 + √(1 + 4(2m − (k−1)n)/(kγ×k)))/2 で与えられ、等号が成り立つのは G が特定の (kr−1)-正則グラフ族 Ψ に属する場合に限る。
• グラフ G が完全（すなわち d(G) = δ(G) + 1）であることは、G ∈ Θ であることと同値である。ここで Θ は、各部に属する頂点に孤立頂点を接続し、部間支配を保証するように辺を追加することで構成される r-部グラフの族である。
• 正則グラフにおいて、G が完全であることは、G が (r+1)-部グラフであり、各 G[Hi ∪ Hj] が完全マッチングを形成することと同値である。これは Zelinka（2005年）の結果を新しい形で再確認する。