[論文レビュー] Revisiting Shor's quantum algorithm for computing general discrete logarithms

Martin Ekerå|arXiv (Cornell University)|May 22, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、離散対数を計算するショアの量子アルゴリズムを再考し、わずかに量子群演算を増加させるとともに、限定的な古典的後処理探索を組み込むことで、1回の実行で成功確率が99％を超えるよう大幅に向上する修正を提案する。この手法は半古典的フーリエ変換と制御キュービットの再利用を活用し、ヒューリスティックな解析により、群の位数rが増加するにつれて成功確率が1に近づくことが示されている。

ABSTRACT

We heuristically show that Shor's algorithm for computing general discrete logarithms achieves an expected success probability of approximately 60% to 82% in a single run when modified to enable efficient implementation with the semi-classical Fourier transform. By slightly increasing the number of group operations that are evaluated quantumly and performing a single limited search in the classical post-processing, or by performing two limited searches in the post-processing, we show how the algorithm can be further modified to achieve a success probability that heuristically exceeds 99% in a single run. We provide concrete heuristic estimates of the success probability of the modified algorithm, as a function of the group order $r$, the size of the search space in the classical post-processing, and the additional number of group operations evaluated quantumly. In the limit as $r \ ightarrow \\infty$, we heuristically show that the success probability tends to one. In analogy with our earlier works, we show how the modified quantum algorithm may be heuristically simulated classically when the logarithm $d$ and $r$ are both known. Furthermore, we heuristically show how slightly better tradeoffs may be achieved, compared to our earlier works, if $r$ is known when computing $d$. We generalize our heuristic to cover some of our earlier works, and compare it to the non-heuristic analyses in those works.

研究の動機と目的

• 1回の実行で離散対数を計算するショアの量子アルゴリズムの成功確率を向上させること。
• 半古典的量子フーリエ変換と制御キュービットの再利用を用いた効率的な実装を可能にすること。
• 群の位数r、探索空間のサイズ、追加の量子演算の関数としての成功確率のヒューリスティック推定値を提供すること。
• 群の位数rが既知か未知かに応じた、量子リソースと古典的リソースのトレードオフを比較すること。
• ヒューリスティック解析を一般化し、先行する非ヒューリスティックな研究と照合すること。

提案手法

• 元のショアのアルゴリズムを修正し、半古典的量子フーリエ変換を用いることで、量子リソース要件を低減する。
• 測定結果の補正と成功確率の向上を目的として、1回または2回の限定的古典的後処理探索を導入する。
• キュービットのオーバーヘッドを低減し回路効率を向上させるために、制御キュービットの再利用を採用する。
• 有理近似の小数部の均一分布仮定に基づくヒューリスティック解析を採用する。
• 群の位数r、量子群演算の回数、古典的探索空間のサイズを関数として成功確率の推定値を導出する。
• 重複するパrameter領域において、先行研究[6, 7, 8]の正確な解析と照合して、ヒューリスティック結果の妥当性を数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ショアの離散対数アルゴリズムを、1回の実行で99％を超える成功確率を達成できるように修正できるか？
• RQ2 追加の量子群演算と古典的後処理探索の増加に伴い、成功確率はどのように変化するか？
• RQ3 群の位数rが既知である場合、量子リソースと古典的リソースの間でどのようなトレードオフを達成できるか？
• RQ4 ヒューリスティックな成功確率モデルは、先行研究の非ヒューリスティック解析とどのように比較できるか？
• RQ5 ヒューリスティックモデルは、短い離散対数のための早期アルゴリズムをカバーするように一般化可能か？

主な発見

• 半古典的QFTと制御キュービットの再利用を用いた修正アルゴリズムは、1回の実行で約60％から82％の成功確率を達成する。
• 量子演算をわずかに増加させるとともに、1回の限定的古典的探索を実行することで、ヒューリスティック的に99％を超える成功確率が達成される。
• 1回の探索ではなく2回の限定的探索を用いることで、さらに成功確率が向上し、群の位数rが増加するにつれて100％に近づく。
• r → ∞ の極限において、ヒューリスティックモデルによれば、修正アルゴリズムの成功確率は1に近づく。
• rが既知の場合、先行研究と比較して、量子リソースと古典的リソースの間でより良いトレードオフを達成できる。
• 数値的検証により、d ~ √r の領域において、ヒューリスティック解析と[7]の正確な解析との間に一致が確認され、モデルの正確性が裏付けられた。