[論文レビュー] Revisiting the stability of computing the roots of a quadratic polynomial

Nicola Mastronardi, Van Dooren Paul|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2014

Numerical methods for differential equations参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2次多項式の根を計算する際に、要素ごとの混合安定性（EMS）が達成可能であることを確立している。EMS とは、相対的かつ成分ごとの意味で、わずかに摂動された多項式の正確な根に近い根が計算されることを意味する。EMS が達成可能であり、ノルムごとの後向き安定性よりも強いことを示したが、小さな係数をもつ反例によって、いかなるアルゴリズムでも普遍的に要素ごとの後向き安定性（EBS）を達成できないことが示された。

ABSTRACT

We show in this paper that the roots $x_1$ and $x_2$ of a scalar quadratic polynomial $ax^2+bx+c=0$ with real or complex coefficients $a$, $b$ $c$ can be computed in a element-wise mixed stable manner, measured in a relative sense. We also show that this is a stronger property than norm-wise backward stability, but weaker than element-wise backward stability. We finally show that there does not exist any method that can compute the roots in an element-wise backward stable sense, which is also illustrated by some numerical experiments.

研究の動機と目的

• 実数または複素数の係数をもつ2次多項式の根を計算するためのアルゴリズムの数値的安定性を分析すること。
• すべての2次多項式に対して要素ごとの後向き安定性（EBS）が達成可能かどうかを特定すること。
• 実用的かつ理論的に整合性のあるより強い安定性概念、すなわち要素ごとの混合安定性（EMS）を確立すること。
• 理論的考察と数値実験を通じて、EBS が一般には達成不可能であることを示すこと、特に小さな係数をもつ多項式において顕著である。

提案手法

• 係数計算における前向きおよび後向き安定性を保証するため、スケーリングを用いて2次多項式をモニック形式に変換する。
• 変数スケーリングを適用し、根の計算を単純化するため、標準形 $ y^2 - 2\beta y + e = 0 $（ここで $ e = \pm 1 $）に帰着させる。
• IEEE浮動小数点標準に従い、平方根および基本演算に安定な算術を用い、相対的後向き誤差が $ \mathcal{O}(u) $ で有界であることを保証する。
• 計算された根が要素ごとの混合安定性（EMS）を満たすことを証明し、根と係数の摂動が相対的かつ成分ごとの意味で有界であることを示す。
• ノルム付きベクトルの不等式および後向き誤差の境界を用い、EMS がノルムごとの後向き安定性（NBS）を意味するが、それよりも強いことを示す。
• 反例として $ \beta = 2^{-t} + 2^{-2t} $ を用い、浮動小数点演算のグリッド制限および相対誤差の蓄積により、いかなる表現可能な根に対してもEBSを満たせないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次多項式の根は、要素ごとの後向き安定的に行えるか？
• RQ2 実数または複素数の係数をもつすべての2次多項式に対して、要素ごとの混合安定性（EMS）は達成可能か？
• RQ3 ノルムごとの後向き安定性（NBS）と比較して、EMS は強さと実用性の点でどのように異なるか？
• RQ4 最適なアルゴリズムを用いても、なぜ要素ごとの後向き安定性（EBS）は一般には達成不可能なのか？
• RQ5 小さな係数がなぜEBSを崩すのか、そしてそれが数値的安定性にどのように影響するのか？

主な発見

• 実数または複素数の係数をもつ2次多項式の根を計算する際、要素ごとの混合安定性（EMS）は達成可能であり、各係数および根に対して $ \mathcal{O}(u) $ のオーダーの相対的後向き誤差を保証する。
• EMS はノルムごとの後向き安定性（NBS）よりも強い安定性特性を有し、ベクトルノルムの境界ではなく、成分ごとの相対的境界を提供するためである。
• 反例により、いかなるアルゴリズムでもすべての2次多項式に対して要素ごとの後向き安定性（EBS）を達成できないことが証明された。反例は $ \beta = 2^{-t} + 2^{-2t} $ であり、$ 2^{-2t} \leq u/2 $ を満たす。
• 反例において、すべての表現可能な根は和に関して $ \sqrt{u} $ のオーダーの相対誤差を示し、浮動小数点演算のグリッド制限によりEBSは不可能である。
• 数値実験により、ランダムな実数および複素数の多項式ではEMSが成立することが確認されたが、非常に小さな $ \beta $ をもつ多項式では失敗し、EBSの理論的不可能性と整合的である。
• 標準形 $ y^2 - 2\beta y + e = 0 $（$ e = \pm 1 $）への変換は、安定な計算を可能にし、EMS を達成する上で鍵となる。