[論文レビュー] Ricci curvature of submanifolds in locally conformal almost cosymplectic manifolds

Tripathi, Mukut Mani, Kim, Jeong-Sik+1 more|ArXiv.org|Jul 2, 2002

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、局所的に共形的 almost cosymplectic多様体で点ごとのφ-断面曲率が定数であるものの部分多様体に対して、内在的曲率不変量（スカラー曲率、リッチ曲率、$k$-リッチ曲率）と外在的二乗平均曲率の間の鋭い不等式を確立する。主な結果は、曲率不変量と幾何的データの関数として$\|H\|^2$の普遍的な下界を与えるもので、等号成立は部分多様体が完全測地的である場合に限る。これは、既知の不等式をこのクラスのalmost contact metric多様体へ拡張するものである。

ABSTRACT

We obtain certain inequalities involving several intrinsic invariants namely scalar curvature, Ricci curvature and $k$-Ricci curvature, and main extrinsic invariant namely squared mean curvature for submanifolds in a locally conformal almost cosymplectic manifold with pointwise constant $% ϕ$-sectional curvature. Applying these inequalities we obtain several inequalities for slant, invariant, anti-invariant and {\em CR}-submanifolds. The equality cases are also discussed.

研究の動機と目的

• 局所的に共形的almost cosymplectic多様体内の部分多様体に対して、内在的・外在的曲率不等式を確立すること。
• 点ごとの定数$φ$-断面曲率をもつ局所的に共形的almost cosymplectic多様体の設定において、既知のChen型不等式を拡張すること。
• これらの不等式の等号成立条件を分析し、部分多様体が完全測地的である場合を特徴づけること。
• 一般的な曲率境界を用いて、斜交、不変、反不変、およびCR-部分多様体のための具体的な不等式を導出すること。
• この幾何的設定において、$k$-リッチ曲率と二乗平均曲率の関係を調査すること。

提案手法

• 正規直交フレーム技術を用いて、スカラー曲率$\tau$、$c-3f^2$、$\|P\|^2$、$f'$を含む$\|H\|^2$の一般不等式を導出する。
• スカラー曲率の$k$-平面断面分解を用いて、$\theta_k(p)$を$k$次元部分空間上の平均リッチ曲率に関連付ける。
• 恒等式$n^2\|H\|^2 = \sum a_i^2 + \sum_{r} \sum_{i,j} (h_{ij}^r)^2 + \text{曲率項}$を適用し、二乗平均曲率を評価する。
• 点ごとの定数$φ$-断面曲率をもつ多様体における曲率テンソルの構造を活用し、曲率項を$c$、$f^2$、$f'$の関数として表現する。
• 平均曲率ベクトルに沿った形状作用素$A_{n+1}$を対角化することで、$\|H\|^2$の式を簡略化し、固有値に関する不等式の適用を可能にする。
• 恒等式$\sum_{i<j}(a_i - a_j)^2 \geq 0$を適用し、$\sum a_i^2$の下界を$\|H\|^2$の関数として導出し、最終的な不等式に至る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 点ごとの定数$φ$-断面曲率をもつ局所的に共形的almost cosymplectic多様体内の部分多様体の二乗平均曲率$\|H\|^2$の最適な下界は何か？
• RQ2 導出された曲率不等式で等号が成立する幾何的条件は何か？ これは部分多様体の幾何にどのような意味を持つのか？
• RQ3 このような部分多様体において、$k$-リッチ曲率とスカラー曲率は二乗平均曲率とどのように関係するか？
• RQ4 スカラー、不変、反不変、およびCR-部分多様体のこのクラスの多様体における具体的な曲率境界は何か？
• RQ5 相対的核とテンソル$P$は曲率不等式にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $\|H\|^2 \geq \frac{2\tau}{n(n-1)} - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{3\|P\|^2(c+f^2)}{4n(n-1)} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$ が成り立ち、等号成立は部分多様体が完全測地的である場合に限る。
• $2 \leq k \leq n$の任意の$k$に対して、不等式$\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{3\|P\|^2(c+f^2)}{4n(n-1)} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$ が成り立ち、ここで$\theta_k$は$k$-リッチ曲率である。
• $\theta$-斜交部分多様体の場合、境界は$\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{3(c+f^2)\cos^2\theta}{4n} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$ に簡略化される。
• 不変部分多様体の場合、境界は$\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{3(c+f^2)}{4n} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$ に簡略化される。
• 反不変部分多様体の場合、境界は$\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$ に簡略化され、$P$-項が存在しないことを反映している。
• 次元$2h = \dim(\mathcal{D})$ のCR-部分多様体の場合、境界は$\|H\|^2 \geq \theta_k - \frac{c-3f^2}{4} - \frac{6h(c+f^2)}{4n(n-1)} + \frac{2}{n}\left(\frac{c+f^2}{4} + f'\right)$ に簡略化され、ホロモーフィック分布の次元が組み込まれている。