[論文レビュー] Ricci flow of almost non-negatively curved three manifolds

Miles Simon|ArXiv.org|Dec 4, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体の列のGromov–Hausdorff極限として得られる3次元の距離空間に対して、短時間のリッチフローソリューションの存在を確立する。その多様体は、リッチ曲率が $-1/i$ で下から有界であり、直径が一様に有界で、体積が0から一様に離れている。フローソリューションは $t > 0$ で滑らかになり、非負のリッチ曲率をとる。これにより、ハミルトンの非負曲率3次元多様体の分類定理を用いて、極限空間の位相的分類が可能になる。

ABSTRACT

In this paper we study the evolution of almost non-negatively curved (possibly singular) three dimensional metric spaces by Ricci flow. The non-negatively curved metric spaces which we consider arise as limits of smooth Riemannian manifolds (M_i,g_i), i \in N, whose Ricci curvature is not less than -c^2(i), where c^2(i) goes to zero as i goes to infinity, and whose diameter is bounded by a constant independent of i, and whose volume is bounded from below by a positive constant independent of i. We show for such spaces, that a solution to Ricci flow exists for a short time, and that the solution is smooth for all positive times and that it has non-negative Ricci curvature. This allows us to classify the topological type and the differential structure of the limit manifold (in view of Hamilton's Theorem on closed three manifolds with non-negative Ricci curvature).

研究の動機と目的

• 曲率、直径、体積が制御された滑らかなリーマン多様体の列のGromov–Hausdorff極限として得られる3次元距離空間のリッチフローエボリューションを研究すること。
• 初期計量が特異的または滑らかでない場合であっても、そのような極限空間に対してリッチフローソリューションの存在を確立すること。
• フローソリューションが $t > 0$ で滑らかになり、非負のリッチ曲率をとることを示し、ハミルトンの定理を用いた分類を可能にすること。
• 曲率近似列を分析することで、弱く負の曲率を持つ空間に対してもリッチフロー技法の適用を拡張すること。

提案手法

• リッチ曲率が $\mathrm{Ricci} \geq -1/i$、直径が一様に有界、体積が一様に0から離れているリーマン多様体の列から、Gromov–Hausdorffコンパクトネスを用いて極限距離空間を抽出すること。
• 近似多様体 $ (M_i, {}^i\!g) $ 上のフローの極限としてリッチフローソリューションを構成し、曲率と幾何の均一な制御を活用すること。
• 擬局所性および微分推定式を用いて曲率の進化を制御し、$t > 0$ での滑らかさを保証すること。
• リッチフローエボリューションを用いて、極限空間が $\mathrm{Ricci} \geq 0$ を満たす滑らかな計量を備える必要があることを示すこと。
• ハミルトンの非負リッチ曲率をもつ閉じた3次元多様体の分類定理を活用し、極限空間の位相的構造を同定すること。
• 調和写像の熱方程式技術および曲率進化推定式を用いて、初期時刻付近でのフローの振る舞いを制御すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リッチ曲率が下から0に近づくリーマン多様体の列の極限空間に対して、リッチフローを定義し、存在させることができるか？
• RQ2 このような極限空間におけるリッチフローは、$t = 0$ の直後にはすぐに滑らかになるか？
• RQ3 これらのフローにおいて、$t > 0$ でリッチ曲率が非負に進化するか？
• RQ4 非負リッチ曲率をとる進化したフローを用いて、極限空間の位相的型を分類できるか？
• RQ5 曲率近似列と極限空間上での滑らかなリッチフローソリューションの存在との関係は何か？

主な発見

• リッチ曲率が $\mathrm{Ricci} \geq -1/i$、直径が一様に有界、体積が一様に0から離れている3次元多様体の列から得られる極限距離空間に対して、短時間のリッチフローソリューションが存在する。
• 初期計量が特異的または滑らかでない場合であっても、すべての $t > 0$ でリッチフローは滑らかである。
• すべての $t > 0$ でリッチ曲率は $\mathrm{Ricci} \geq 0$ を満たし、多様体が非負リッチ曲率をもつ計量を備えることを示唆する。
• 極限空間は、$S^3$、$S^2 \times \mathbb{R}$、または $\mathbb{R}^3$ の、固定点のない等長群作用による商多様体微分同相である。
• 極限空間の位相的分類は、ハミルトンの非負リッチ曲率をもつ3次元多様体に関する定理から導かれる。
• 曲率の下からの制御により、多様体の直径は時間に関して指数関数的に増加し、$d_0 \exp(c_0 t)$ で上から有界である。