[論文レビュー] Riemannian $\mathbf{(1+d)}$-Dim Space-Time Manifolds with Nonstandard Topology which Admit Dimensional Reduction to Any Lower Dimension and Transformation of the Klein-Gordon Equation to the $\mathbf{1}$-Dim Schrödinger Like Equation

Plamen Fiziev|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、非標準的な位相と可変なコンpactification半径を有する(1+d)次元のリーマン空間時空多様体のクラスを提案し、任意の低次元d_low = 1,2,…,d−1への次元削減を可能にする。幾何学的構造を有効なポテンシャルに変換することで、クライン＝ゴーレン方程式は1次元のシュレーディンガー型方程式に簡略化され、4次元の観測可能な宇宙において高次元および低次元からの物理的信号の研究が可能になる。

ABSTRACT

This rather technical paper presents some generalization of the results of recent publications \cite{Shirkov2010, DVPF2010, PFDV2010} where toy models of dimensional reduction of space-time were considered. Here we introduce and consider a specific type of multidimensional space-times with nontrivial topology and nontrivial Riemannian metric, which admit a reduction of the dimension $d$ of the space to any lower one $d_{low} = 1, 2,..., d-1$. The variable geometry is described by several variable radii of compactification of part of space dimensions. We succeed once more in transforming the shape of the variable geometry of the $d$-dimensional spaces under consideration to a specific potential interaction, described by the potential $V$ in the one-dimensional Schrödinger-like equation. This way one may hope to study the possible physical signals going from both higher and lower dimensions into our obviously four dimensional real world.

研究の動機と目的

• 非自明な位相を有する(1+d)次元のリーマン空間時空多様体を構築し、任意の低次元への次元削減を可能にする。
• 非コンパクト化された座標zに依存する可変なコンpactification半径ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z)をモデル化し、動的次元削減を可能にする。
• 高次元空間の幾何学的構造を1次元のシュレーディンガー型方程式における有効なポテンシャルに変換する。
• この幾何学的構造からポテンシャルへの写像を通じて、4次元の観測可能な宇宙において高次元および低次元からの物理的信号の研究を可能にする。
• 以前の次元削減の玩具的モデルを、任意のd ≥ 3を満たす多様体のより広いクラスに一般化する。

提案手法

• 座標t, zおよび角度変数φ₁,…,φ_{d−1}を用い、半径がρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z)である(1+d)次元多様体を、平坦な(1+5)次元の擬ユークリッド空間内の超曲面として定義する。
• 多様体上に誘導されたリーマン計量を導出し、それが可変な半径およびその微分に依存することを示す。
• d次元ラプラシアンを可分な形に簡略化するため、新しい座標u(z) = ∫ [ρ_d(z)/(ρ₁(z)…ρ_{d−1}(z))] dzを導入する。
• クライン＝ゴーレン方程式に変数分離を適用し、径方向部分を、計量および曲率から導かれるポテンシャルV(u)を有する1次元のシュレーディンガー型方程式に還元する。
• 有効なポテンシャルV(u)を、コンpactification半径ρ₁(u), ..., ρ_{d−1}(u)、それらの微分、および質量・周波数パラメータの関数として表現する。
• (1+d)次元スカラー曲率R^{(1+d)}を用いて、共形不変クライン＝ゴーレン方程式（CIKGE）を構築し、比較のための第二のポテンシャルV_c(u)を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変なコンpactification半径ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z)を有する非標準的な位相を有する(1+d)次元のリーマン多様体は、任意の低次元d_low = 1,2,…,d−1への次元削減を可能にするか？
• RQ2 このような多様体の幾何学的構造は、1次元のシュレーディンガー型方程式における有効なポテンシャルにどのように写像されるか？
• RQ3 可変な幾何学的構造が低次元方程式に与える有効なポテンシャルV(u)の明示的形は何か？
• RQ4 コンpactification半径ρ₁(z), ..., ρ_{d−1}(z)がzに依存する場合、d次元空間のスカラー曲率R^{(d)}は非自明なままであるか？
• RQ5 この枠組み内で共形不変クライン＝ゴーレン方程式を定式化できるか？その有効なポテンシャルV_c(u)は何か？

主な発見

• 多様体は、半径ρ_μ(z) → 0となる極限を取ることで、任意の低次元d_low = 1,2,…,d−1への次元削減を許容する。
• d次元ラプラシアンは座標u(z)を用いることで、ϱ₁(u), ..., ϱ_{d−1}(u)（uを用いて表された半径）を含む可分な形に変換される。
• クライン＝ゴーレン方程式の径方向部分は、ポテンシャルV(u) = ∏_{α=1}^{d−1} ϱ_α²(u) × [(M²−ω²) + ∑_{α=1}^{d−1} m_α²/ϱ_α²(u)]を有する1次元のシュレーディンガー型方程式に還元される。
• d次元空間のスカラー曲率R^{(d)}は非ゼロであり、半径の二階微分を含む複雑な式で与えられ、非自明な幾何学的構造が確認される。
• 共形不変クライン＝ゴーレン方程式は、第二の有効なポテンシャルV_c(u) = [R^{(1+d)}/n_d − ω² + ∑ m_α²/ϱ_α²] × ∏ ϱ_α²を導く。ここでn_d = 4/(1−1/d)であり、これは代替的な幾何学的写像を提供する。
• d > 3の場合、d次元空間のウェイリータンスンはゼロでないため、非共形的平坦性であることが示され、3次元空間ではウェイリータンスンはゼロだが、タウブテンソルは非ゼロであり、これは共形的平坦でないことを示唆する。