[論文レビュー] Rigidity of measurable structure for Z^d-actions by automorphisms of a torus

Anatole Katok, Svetlana Katok+1 more|ArXiv.org|Mar 5, 2000

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、d ≥ 2 におけるトーラスの自己同型による ℤ^d-作用における可測軌道構造の強い剛性を確立し、可測同型がアフィンでなければならないことを示しており、可測同型が代数的同型を意味することを示している。主な結果は、中心化群と因子写像が代数的に決定されることであり、同型でないが弱同型である例や、中心化群構造が一部の場合は測度論的不変量として機能するが、他の場合は機能しない例が提示されている。

ABSTRACT

We show that for certain classes of actions of Z^d, d >= 2, by automorphisms of the torus any measurable conjugacy has to be affine, hence measurable conjugacy implies algebraic conjugacy; similarly any measurable factor is algebraic, and algebraic and affine centralizers provide invariants of measurable conjugacy. Using the algebraic machinery of dual modules and information about class numbers of algebraic number fields we consruct various examples of Z^d-actions by Bernoulli automorphisms whose measurable orbit structure is rigid, including actions which are weakly isomorphic but not isomorphic. We show that the structure of the centralizer for these actions may or may not serve as a distinguishing measure-theoretic invariant.

研究の動機と目的

• トーラスの自己同型による高ランク ℤ^d-作用における可測軌道構造の剛性を調査すること。
• このような作用について、可測同型が代数的同型を意味するかどうかを特定すること。
• 中心化群や因子などの代数的不変量が測度論的不変量として機能するかどうかを調査すること。
• 同一のエントロピー関数を持つが、同型ではない、あるいは最大でない作用の明示的例を構成すること。
• 数体における類数と単数群の代数的構造が、関連するトーラス自己同型の可測軌道構造に与える影響を分析すること。

提案手法

• 双対モジュール理論と代数的数論を用いて、トーラス上の ℤ^d-作用の構造を分析すること。
• 文献[11]における不変測度に関する剛性結果を応用し、可測同型にかかる制約を導出すること。
• 全実数体の基本単数による乗法によって作用を構成すること。
• 数体の整数環における単数による乗法から得られる自己同型の明示的行列表現を用いること。
• 固定点集合と中心化群構造の比較を通じて、可測同型類を区別すること。
• 類数が3の例（例えば、理想類群の位数が3）を用いて、同型ではないが弱同型である作用を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス上の ℤ^d-作用の間で可測同型が成立するための条件は何か？
• RQ2 中心化群の構造が、このような作用における可測同型の完全な不変量として機能するか？
• RQ3 同一のエントロピー関数を持つが、同型ではない弱同型の ℤ^d-作用の例は存在するか？
• RQ4 数体の単数群および類群の代数的構造は、関連するトーラス自己同型の可測軌道構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 同一の基本単数集合から得られる非同型の中心化群を有する最大カーテン作用を構成できるか？

主な発見

• トーラス上の ℤ^d-作用の間で可測同型が成立する場合、代数的同型が成立することが示され、可測構造の強い剛性が確立された。
• 同一の数体から出発し、異なる理想類（例：類数3）を用いた作用は、同一のエントロピー関数を持つが、弱同型ではあるが同型ではない。
• 固定点が2つの場合、カーテン作用の中心化群は ℤ^2 × ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ に同型であるが、固定点が1つまたは4つの場合、構造が異なり、結果として非同型の中心化群が得られる。
• 立方体体において [𝒪_K : ℤ(α)] = 2 であり、同一の基本単数から得られる2つの最大カーテン作用は、同じエントロピー関数を持つが、中心化群構造の相違により、可測同型でない。
• ᾱ_λ^min は巡回的であるが、ᾱ_λ^max はそうではない。この差異により、時間変更を除いても可測同型が成立しない。
• 中心化群構造が可測同型類を区別できる例は存在するが、中心化群が同型である場合には、この不変量は非同型性を検出できない場合がある。