[論文レビュー] Rigidity of weighted composition operators on $H^p$

Mikael Lindström, Santeri Miihkinen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Holomorphic and Operator Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、$1 \leq p < \infty$ における Hardy 空間 $H^p$ 上の非コンパクトな重み付き合成作用素が $\ell^p$ の等長写像によるコピーを固定することを確立し、これが厳密に特異でないことを示している。さらに、このような作用素が $\ell^2$ のコピーを固定する条件を同定し、それが境界接触集合 $E_\varphi$ の測度が正であるときに限り成立することを示している。これらの結果は、重みなし合成作用素における剛性現象を重み付き設定へと拡張するものである。

ABSTRACT

We show that every non-compact weighted composition operator $f \mapsto u\cdot (f\circ\phi)$ acting on a Hardy space $H^p$ for $1 \leq p < \infty$ fixes an isomorphic copy of the sequence space $\ell^p$ and therefore fails to be strictly singular. We also characterize those weighted composition operators on $H^p$ which fix a copy of the Hilbert space $\ell^2$. These results extend earlier ones obtained for unweighted composition operators.

研究の動機と目的

• 非コンパクトな重み付き合成作用素 $uC_\varphi$ が $H^p$ 空間上に有する定性的な作用素論的性質を調査すること。
• 重みなし合成作用素における既知の剛性結果を重み付きの場合に拡張すること。
• $H^p$ 上でこのような作用素が $\ell^2$ の等長写像によるコピーを固定する条件を同定すること。
• コンパクト性、厳密特異性、およびこれらの作用素の像内に $\ell^p$ または $\ell^2$ のコピーが存在する条件との関係を明確にすること。

提案手法

• 境界付近での作用素の振る舞いを調べるために、$\|g_a\|_{H^p} = 1$ を満たすテスト関数 $g_a(z) = (1 - |a|^2)^{1/p}/(1 - \bar{a}z)^{1/p}$ を用いる。
• Carleson 測度の基準とコンパクト性の特徴づけを適用し、$a_n \to 1$ となる列 $a_n$ を特定し、$\|uC_\varphi g_{a_n}\|_{H^p} \geq c > 0$ となるようにすることで、非コンパクト性を示す。
• Lemma 4 を用いて、特に $|\varphi(\zeta) - 1| < \epsilon$ を満たさない集合 $F_\epsilon$ の外で、$uC_\varphi g_a$ の $L^p$ ノルムを制御し、$a \to 1$ のときのノルムの減衰を保証する。
• Paley の定理と $H^1$ ノルムの推定を用いて、$m(E_\varphi) > 0$ のとき、$uC_\varphi$ が特定の部分空間を $\ell^2$-に類似した列へ等長写像で写すことを示す。
• 滑らかのハム法（gliding hump argument）を用いて、$m(E_\varphi) = 0$ の仮定の下で、$uC_\varphi$ が $\ell^p$ に有界下限付きの等長写像として作用するような関数の部分列を抽出する。
• $p \neq 2$ のとき $\ell^p$ と $\ell^2$ が完全に比較不能であることに着目し、$m(E_\varphi) = 0$ かつ $p \neq 2$ のとき、$uC_\varphi$ が $\ell^2$ のコピーを固定できないことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクトな重み付き合成作用素 $uC_\varphi$ が $H^p$ 上で $\ell^p$ の等長写像によるコピーを固定する条件は何か？
• RQ2 $H^p$ 上で $uC_\varphi$ がヒルベルト空間 $\ell^2$ の等長写像によるコピーを固定する条件は何か？
• RQ3 境界接触集合 $E_\varphi = \{\zeta \in \mathbb{T} : |\varphi(\zeta)| = 1\}$ の測度が $uC_\varphi$ の像内に $\ell^2$-コピーが存在するのにもたらす影響は何か？
• RQ4 重み付きの場合において、厳密特異性と $\varphi$ の境界挙動の幾何学的性質との間に、重みなしの場合と類似した関係があるだろうか？
• RQ5 重み付き作用素 $uC_\varphi$ の剛性は、$E_\varphi$ のサイズと重み $u$ によって完全に特徴づけられるだろうか？

主な発見

• すべての非コンパクトな重み付き合成作用素 $uC_\varphi$ は、$1 \leq p < \infty$ に対して $H^p$ 上で $\ell^p$ の等長写像によるコピーを固定し、これは厳密特異でないことを意味する。
• $m(E_\varphi) > 0$ のとき、$uC_\varphi$ は $H^p$ 上で $\ell^2$ の等長写像によるコピーを固定する。これは、作用素がより大きな Hardy 空間 $H^q$（$q \leq p$）に倣う場合でも成立する。
• $m(E_\varphi) = 0$ のとき、$p \neq 2$ であれば、$uC_\varphi$ は $H^p$ 上で $\ell^2$ の等長写像によるコピーを固定できない。これは $\ell^p$ と $\ell^2$ が完全に比較不能であることに起因する。
• $a_n \to 1$ かつ $\|uC_\varphi g_{a_n}\|_{H^p} \geq c > 0$ であるならば、$uC_\varphi$ は列 $(g_{a_n})$ の閉線形包上で有界下限を持つ。これは $\ell^p$-コピーの存在を示唆する。
• 定理 2 の証明では、重み付き $H^1$ ノルム推定 $\left\|u \sum \alpha_k \varphi^{n_k} \right\|_{H^1} \geq c \| (\alpha_k) \|_{\ell^2}$（ある $c > 0$）が、$m(E_\varphi) > 0$ かつ $u \not\equiv 0$ の下で Hölder の不等式と $C_\varphi$ の $H^2$-有界性を用いて得られる。
• 関数列 $f_n \to 0$ がコンパクト集合上で一様に収束するとき、滑らかのハム法を適用することで、部分列 $f_{n_j}$ を得られ、$uC_\varphi$ が $[f_{n_j}]$ 上で有界下限を持つ。これは $m(E_\varphi) = 0$ のとき $\ell^p$-コピーの存在を示す。