[論文レビュー] Rigidity results for wreath product II$_1$ factors

Adrian Ioana|ArXiv.org|Jun 22, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、一般の有限基底因子に対して、ポーパの可塑性の弱化形である「弱可塑性」と呼ばれる性質を用いて、ワループ積 II$_1$ 因子における剛性結果を確立する。相対的剛性を示す部分因子に対しては、二分岐が成立し、それは $L(G)$ に埋め込まれるか、有限部分積 $\bigotimes_F B$ に埋め込まれる。この結果をもとに、ワループ積因子間の同型写像の分類を行い、特定の非超冪ワループ積に対して基本群が自明であることを示す。

ABSTRACT

We consider II$_1$ factors of the form $M=\bar{\bigotimes}_{G}N times G$, where either i) $N$ is a non-hyperfinite II$_1$ factor and $G$ is an ICC amenable group or ii) $N$ is a weakly rigid II$_1$ factor and $G$ is ICC group and where $G$ acts on $\bar{\bigotimes}_{G}N$ by Bernoulli shifts. We prove that isomorphism of two such factors implies cocycle conjugacy of the corresponding Bernoulli shift actions. In particular, the groups acting are isomorphic. As a consequence, we can distinguish between certain classes of group von Neumann algebras associated to wreath product groups.

研究の動機と目的

• アーベル的または超冪因子に限らない任意の有限基底因子を持つワループ積 von Neumann 代数へ、ポーパの変形／剛性枠組みを拡張すること。
• 基底群 $G$ に対して、$B\wr G$ の相対的剛性を示す連続的で非可換な部分因子について、それが $L(G)$ に埋め込まれるか、有限部分積 $\bigotimes_F B$ に埋め込まれるという二分岐を確立すること。
• ワループ積因子 $N\wr G$ と $P\wr H$ 間の同型写像 $\theta$ が、$\bigotimes_G N$ と $\bigotimes_H P$ をユニタリ同倣によって保存することを示すこと。
• 群 $G$ がアーベル的で、$N$ が超冪でない場合、$N\wr G$ の基本群が自明になること。
• 中心列と Rokhlin 型構成を用いて、アーベル的群の場合の埋め込み結果を確立すること。

提案手法

• Bernoulli 動作の空間 $\overline{\bigotimes}_G [B*L(\mathbb{Z})]$ に対して、完全な可塑性より弱いが剛性の解析に十分な「弱可塑性」と呼ばれる変形性質を導入する。
• 群 $L(\mathbb{Z})$ 上の自己同型のテンソル積を用いて、拡張 $\tilde{M} = M \overline{\otimes} M$ 上に連続的作用 $\theta_t$ を構成し、$\theta_1(M\otimes 1) \perp M\otimes 1$ を満たすようにする。
• ポーパの bimodule を用いた埋め込み検出法を用い、$\overline{\bigotimes}_G B$ のコーナーが相対的剛性部分因子に埋め込まれることを検出する。
• 群 $G$ がアーベル的で $N$ が超冪でないとき、$M^\omega$ 内の中心列を用いて $M = N\wr G$ の構造を解析する。
• コンヌーの注入性の特徴づけと、オルンシュタイン＝ヴァイスの Rokhlin レムマを用いて、$M^\omega$ 内の中心列が漸近的に $\bigotimes_G N$ に含まれることを示す。
• 中心列に関する結果と正則部分因子の性質を組み合わせ、適切な条件下で $\overline{\bigotimes}_G N$ が正則部分因子 $Q$ に埋め込まれることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポーパの相対的剛性検出法は、可塑的でない一般のワループ積 II$_1$ 因子（任意の有限基底因子）へ拡張可能か？
• RQ2 相対的剛性を示す連続的で非可換な部分因子 $Q$ が $B\wr G$ 内に存在するとき、$Q$ は $L(G)$ に埋め込まれるか、有限部分積 $\bigotimes_F B$ に埋め込まれるか？
• RQ3 ワループ積因子 $N\wr G$ と $P\wr H$ 間の同型写像 $\theta$ が与えられたとき、$\theta$ は $\bigotimes_G N$ と $\bigotimes_H P$ をユニタリ同倣によって保存する必要があるか？
• RQ4 基底因子 $N$ が超冪でなく、群 $G$ がアーベル的であるとき、$N\wr G$ の基本群は自明になるか？
• RQ5 群 $G$ がアーベル的であるとき、$M^\omega$ 内の中心列を用いて、$\bigotimes_G N$ が $M = N\wr G$ 内でどの位置にあるかを特定できるか？

主な発見

• 任意の相対的剛性を示す連続的で非可換な部分因子 $Q \subset B\wr G$ に対して、あるユニタリ $u$ が存在し、$uQu^* \subset L(G)$ であるか、または有限部分集合 $F \subset G$ に対して $Q$ のコーナーが $\bigotimes_F B$ に埋め込まれる。
• 基底因子 $B$ が因子であるとき、$Q$ のユニタリ同倣が $\bigotimes_F B$ に埋め込まれ、$Q$ の正規化代数 $P$ のユニタリ同倣が有限個の群的要素のスパンに埋め込まれる。
• 基底因子 $N,P$ が超冪ではなく、群 $G,H$ がアーベル的であるとき、同型写像 $\theta: N\wr G \to P\wr H$ に対して、あるユニタリ $u$ が存在し、$\theta(\bigotimes_G N) = u(\bigotimes_H P)u^*$ を満たし、$G \simeq H$ を示す。
• 基底因子 $N$ が超冪ではなく、群 $G$ がアーベル的であるとき、$N\wr G$ の基本群は自明である（$\mathcal{F}(N\wr G) = \{1\}$）。
• 群 $G$ がアーベル的であるとき、$\bigotimes_G N \subset N\wr G$ は任意の $t>0$ に対して $\bigotimes_H Q \subset Q\wr H$ と同型であり、拡張に対して安定であることを示す。
• 群 $G$ がアーベル的で、$N$ が超冪でないとき、$M^\prime \cap M^\omega \subset (\bigotimes_G N)^\omega$ が成り立ち、$Q$ が正則的で $M^\prime \cap M^\omega \subset Q^\omega$ ならば、$\bigotimes_G N$ のコーナーが $Q$ に埋め込まれる。