[論文レビュー] Rings Over Which Cyclics are Direct Sums of Projective and CS or Noetherian

Christopher J. Holston, S. K. Jain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2010

Rings, Modules, and Algebras参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、任意の巡回右加群が射影的加群とCS加群またはネーター加群の直和に分解される環について考察する。本稿では、単純加群が適切な巡回商に関して単純的であるV-環の一般化であるWV-環の概念を導入し、このような環に対して、環がネーター的であることと、すべての巡回加群がこの分解性質を満たすこととは同値であることを証明する。主な貢献は、射影的ソクルをもつV-環上での有限生成加群の構造的分解であり、それは半単純かつソクルが零であるネーター的成分に分解される。

ABSTRACT

R is called a right WV -ring if each simple right R-module is injective relative to proper cyclics. If R is a right WV -ring, then R is right uniform or a right V -ring. It is shown that for a right WV-ring R, R is right noetherian if and only if each right cyclic module is a direct sum of a projective module and a CS or noetherian module. For a finitely generated module M with projective socle over a V -ring R such that every subfactor of M is a direct sum of a projective module and a CS or noetherian module, we show M = X \\oplus T, where X is semisimple and T is noetherian with zero socle. In the case that M = R, we get R = S \\oplus T, where S is a semisimple artinian ring, and T is a direct sum of right noetherian simple rings with zero socle. In addition, if R is a von Neumann regular ring, then it is semisimple artinian.

研究の動機と目的

• 任意の巡回右加群が射影的加群とCS加群またはネーター加群の直和に分解される環を特徴付けること。
• 単純加群が適切な巡回商に関して単純的であるという性質を満たすV-環の一般化としてWV-環を導入し、その性質を研究すること。
• このような環がネーター的であるための条件を特定すること、特にソクルと一様次元の役割に焦点を当てる。
• 射影的ソクルをもつV-環上での有限生成加群を、ソクルが零である半単純部とネーター的部に分解すること。
• 分解条件を満たすヴォン・ノイマン正則なWV-環が半単純アートン環であることを確立すること。

提案手法

• WV-環の概念を導入：任意の適切な右イデアルAに対して、すべての単純右加群がR/A-単純的である環。
• 性質(*)を用いて、射影的加群とCSまたはネーター的加群の直和である加群を記述する。
• 一様次元の議論と本質的部分加群理論を用いて、巡回加群およびその部分因子を分析する。
• 既知のV-環およびco-半単純加群に関する結果を活用し、加群分解に関する構造定理を導出する。
• 帰納法と部分加群格子の分析を用いて、性質(*)を満たす巡回加群がネーター的であることを証明する。
• V-環でソクルが射影的であるとき、非零の一様部分因子を持たない加群は半単純であることを応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の巡回右加群が射影的加群とCSまたはネーター的加群の直和に分解される環が、いつネーター的であるか？
• RQ2 WV-環はV-環とどのように異なるか？また、WV-環がV-環でない場合に生じる構造的制約は何か？
• RQ3 射影的ソクルをもつV-環上での有限生成加群が、すべての部分因子が(*)を満たすと仮定したとき、その分解はどのようなものか？
• RQ4 ヴォン・ノイマン正則なWV-環がいつ半単純アートン環になるか？
• RQ5 性質(*)は、特に巡回加群の場合に、環自体の構造を分類するために利用可能か？

主な発見

• WV-環Rに対して、Rがネーター的であることと、すべての巡回R-加群が射影的加群とCSまたはネーター的加群の直和に分解される性質(*)を満たすこととは同値である。
• RがV-環であり、すべての巡回R-加群が(*)を満たすならば、R = S ⊕ Tと分解され、ここでSは半単純アートン環であり、Tはソクルが零である単純ネーター環の有限個の直和である。
• 射影的ソクルをもつV-環上での有限生成R-加群Mに対して、すべての部分因子が(*)を満たすならば、M = X ⊕ Tと分解され、ここでXは半単純であり、Tはソクルが零であるネーター的加群である。
• すべての巡回加群に対して(*)を満たすヴォン・ノイマン正則なWV-環は、半単純アートン環でなければならない。
• RがWV-環でありV-環でない場合、Rは一様的であり、そのような場合、巡回加群の唯一の射影的部分加群は零である。
• 射影的ソクルをもつV-環上での巡回加群のソクルは、単純的かつ有限生成であり、これにより半単純部とソクルが零であるネーター的部への直和分解が得られる。