[論文レビュー] Robust a posteriori error estimation for stochastic Galerkin formulations of parameter-dependent linear elasticity equations

Arbaz Khan, Alex Bespalov+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、不確実なヤング率を有するパラメータ依存線形弾性問題に適用する、ストキャスティックガレルキン混合有限要素法（SG-MFEM）における頑健な事後誤差推定フレームワークを提示する。この手法は、ポisson比や離散化パラメータに依存しない信頼性高く効率的な誤差境界を提供し、圧縮性および非圧縮性極限の両方において効果的インデックスが1に近いまま保たれるように、適応的グリッド・リファインメントを可能にする。

ABSTRACT

The focus of this work is a posteriori error estimation for stochastic Galerkin approximations of parameter-dependent linear elasticity equations. The starting point is a three-field PDE model in which the Young's modulus is an affine function of a countable set of parameters. We analyse the weak formulation, its stability with respect to a weighted norm and discuss approximation using stochastic Galerkin mixed finite element methods (SG-MFEMs). We introduce a novel a posteriori error estimation scheme and establish upper and lower bounds for the SG-MFEM error. The constants in the bounds are independent of the Poisson ratio as well as the SG-MFEM discretisation parameters. In addition, we discuss proxies for the error reduction associated with certain enrichments of the SG-MFEM spaces and we use these to develop an adaptive algorithm that terminates when the estimated error falls below a user-prescribed tolerance. We prove that both the a posteriori error estimate and the error reduction proxies are reliable and efficient in the incompressible limit case. Numerical results are presented to validate the theory. All experiments were performed using open source (IFISS) software that is available online.

研究の動機と目的

• パラメータ依存線形弾性問題におけるストキャスティックガレルキン混合有限要素法の信頼性高く効率的な事後誤差推定の課題に取り組む。
• 標準的手法がロックイン現象により失敗し得る非圧縮性極限においても、頑健に保たれる誤差推定戦略を開発する。
• 空間的およびパラメトリック次元における異なる豊か化戦略のための誤差低減プロキシを提供することで、適応的リファインメントを可能にする。
• 誤差推定子および誤差低減プロキシが信頼性高く効率的であり、ポisson比および離散化パラメータに依存しない定数を持つことを保証する。

提案手法

• アフィンパラメトリックヤング率を有する三変数混合PDE系を用いて、パラメータ依存線形弾性問題を定式化する。
• 安定性解析のための重み付きノルムを導入し、ストキャスティックガレルキン離散化に適した弱形式を導出する。
• 空間的およびパラメトリック成分における残差に基づく誤差寄与を用いて、新規の事後誤差推定子を提案する。
• ポisson比およびメッシュ／パラメトリックパラメータに依存しない定数を有するSG-MFEM誤差の上界および下界を導出する。
• 新たな空間的またはパラメトリック自由度を追加した場合の潜在的誤差低減を推定することで、適応的豊か化を導く誤差低減プロキシを構築する。
• 誤差推定子およびプロキシを用いてリファインメントを誘導し、推定誤差がユーザー定義の許容誤差以下に達するまで繰り返す適応的アルゴリズムを実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ依存材料特性を有する線形弾性問題におけるストキャスティックガレルキン混合有限要素法に、頑健な事後誤差推定子を構築できるか？
• RQ2 提案された誤差推定子は、ポisson比が0.5に近づく非圧縮性極限においても、信頼性および効率性を維持するか？
• RQ3 誤差低減プロキシは、空間的およびパラメトリック次元における適応的豊か化を効果的に導くために使用可能か？
• RQ4 適応的アルゴリズムの収束速度は、ポisson比およびパラメトリック係数の減衰率に依存しないか？
• RQ5 誤差推定子の効果的インデックスは、適応的リファインメントプロセス全体を通じて1に近いか？

主な発見

• 提案された事後誤差推定子は、ポisson比および離散化パラメータに依存しない定数を有するSG-MFEM誤差の上界および下界を提供する。
• 誤差推定子は、すべての適応的リファインメントステップにおいて、効果的インデックスが1に近いまま保たれ、その信頼性および効率性が確認された。
• 圧縮性ケース（ν = 0.4）では、空間的誤差寄与が誤差推定の主因を占めるが、ほぼ非圧縮性ケース（ν = 0.49999）では、パラメトリック誤差寄与が支配的になる。
• 適応的アルゴリズムは、自由度総数のO(n⁻¹/²)の収束速度を達成する。これはポisson比に依存しない。
• 遅い減衰ケース（σ̃ = 2）では、ほぼ非圧縮性ケースにおいて活性化パラメータ数が顕著に増加し、より高いパラメトリック複雑性を示す。
• 速い減衰ケース（σ̃ = 4）では、同じ自由度数に対してより少ないパラメータが活性化されるため、パラメトリック減衰率が適応的戦略の効率性に影響することが確認された。