[論文レビュー] Robust and multiply charged nodes in centrosymmetric systems

Tomáš Bzdušek, Manfred Sigrist|arXiv (Cornell University)|May 19, 2017

Physics of Superconductivity and Magnetism被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、空間反転対称性を持つ系において、すべてのアラン＝ジルンバウアー対称性クラスにわたる、頑健で多重電荷を帯びたトポロジカルノードを分類する一般化されたホモトピー枠組み—AZ+𝒫分類—を導入する。3次元において、クラスCI、AI、D、BDIは、Z₂不変量によって保護される二重電荷を帯びたノードラインまたはノード面を支持しており、孤立した消滅に対して安定であるが、対消滅を要する。結晶対称性は空間反転対称性を超えて必要としない。

ABSTRACT

Weyl points in three spatial dimensions are characterized by a $\mathbb{Z}$-valued charge -- the Chern number -- which makes them stable against a wide range of perturbations. A set of Weyl points can mutually annihilate only if their net charge vanishes, a property we refer to as robustness. While nodal loops are usually not robust in this sense, it has recently been shown using homotopy arguments that in the centrosymmetric extension of the $ extrm{AI}$ symmetry class they nevertheless develop a $\mathbb{Z}_2$ charge analogous to the Chern number. Nodal loops carrying a non-trivial value of this $\mathbb{Z}_2$ charge are robust, i.e. they can be gapped out only by a pairwise annihilation and not on their own. As this is an additional charge independent of the Berry $\pi$-phase flowing along the band degeneracy, such nodal loops are, in fact, doubly charged. In this manuscript, we generalize the homotopy discussion to the centrosymmetric extensions of all Atland-Zirnbauer classes. We develop a taylored mathematical framework dubbed the AZ+$\mathcal{I}$ classification and show that in three spatial dimensions such robust and multiply charged nodes appear in four of such centrosymmetric extensions, namely AZ+$\mathcal{I}$ classes $ extrm{CI}$ and $ extrm{AI}$ lead to doubly charged nodal lines, while $ extrm{D}$ and $ extrm{BDI}$ support doubly charged nodal surfaces. We remark that no further crystalline symmetries apart from the spatial inversion are necessary for their stability. We provide a description of the corresponding topological charges, and develop simple tight-binding models of various semimetallic and superconducting phases that exhibit these nodes. We also indicate how the concept of robust and multiply charged nodes generalizes to other spatial dimensions.

研究の動機と目的

• ウェイル点を超えて、中心対称系におけるノードラインおよびノード面のトポロジカルノード安定性を理解を拡張すること。
• Z-値をとるチェーン数ではなく、Z₂不変量によって保護される頑健で多重電荷を帯びたノードを支持する対称性クラスを同定すること。
• 空間反転対称性を有するすべてのアラン＝ジルンバウアークラスにわたる、このようなノードを分類する統一的な数学的枠組み—AZ+𝒫分類—を構築すること。
• 半金属および超伝導系においてこれらのトポロジカル相を実現する最小限のタイトバインディングモデルを構築すること。
• 頑健で多重電荷を帯びたノードの概念を他の空間次元に一般化すること。

提案手法

• 空間反転対称性（𝒫）をすべてのアラン＝ジルンバウアークラスに拡張することで、特化したホモトピー論的枠組み—AZ+𝒫分類—を構築する。
• ホモトピー群解析を用いて3次元系における安定なバンド簡約を分類し、ウェイル点のチェーン数に類似したZ₂不変量を同定する。
• クラスCIおよびAIにおけるノードライン、およびクラスDおよびBDIにおけるノード面が非自明なZ₂電荷を帯びており、孤立した消滅に対して安定であることを特定する。
• 予測されたノードラインおよびノード面と正しいトポロジカル不変量を有する、単純なタイトバインディングモデルを構築する。
• Z₂電荷とベリー位相πの間の相互作用を分析し、これらが独立したトポロジカル不変量であることを示す。
• 形式的枠組みを任意の空間次元に拡張し、3次元を超えた安定化機構の一般化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの中心対称的拡張が、アラン＝ジルンバウアークラスにおいて、頑健で多重電荷を帯びた特性を有するトポロジカルノードを支持するか？
• RQ2 中心対称系におけるZ₂不変量は、ノードラインおよびノード面の対消滅安定性をどのように強制するか？
• RQ3 標準的なZ-値をとるチェーン数を超えて、このようなノードの分類に内在する数学的構造は何か？
• RQ4 半金属および超伝導系の両方において、これらの二重電荷を帯びたトポロジカル相を実現する最小限のタイトバインディングモデルを構築可能か？
• RQ5 頑健で多重電荷を帯びたノードの概念は、空間次元が少ないか、多い系へどのように一般化されるか？

主な発見

• 3次元空間において、4つの中心対称的拡張—CI、AI、D、BDI—が、頑健で二重電荷を帯びたトポロジカルノードを支持する。
• クラスCIおよびAIにおけるノードラインはZ₂不変量によって保護されており、対消滅によるみにギャップが開く。
• クラスDおよびBDIにおけるノード面も非自明なZ₂電荷を有しており、同じ対消滅則に従ってその頑健性が保証される。
• Z₂電荷はベリー位相πとは独立しており、これらのノードが真に二重電荷を帯びていることを確認する。
• これらのノードの安定性は、空間反転対称性を超えた追加の結晶対称性を必要としない。
• この枠組みは他の空間次元へ一般化可能であり、頑健で多重電荷を帯びたノードが3次元に限定されないことを示唆する。